дана окружность w с центром О. Точки М и N - соответственно середины радиусов ОА и ОВ окружности w. На окружности w выбраны точки Е и F так, что хода ЕF проходит через точки М и…

Рассмотрим данную задачу, в которой нам дана окружность \( w \) с центром \( O \), а также точки \( M \) и \( N \), которые являются серединами радиусов \( OA \) и \( OB \) соответственно. Пусть радиус окружности \( w \) равен \( r \).

1. Поскольку точки \( M \) и \( N \) находятся на радиусах \( OA \) и \( OB \), то их расположение будет следующее:

   • \( OM = \frac{r}{2} \)
   • \( ON = \frac{r}{2} \)

2. У нас есть хорда \( EF \), проходящая через точки \( M \) и \( N \). Длина хорды \( MN \) равна: \[ MN = \sqrt{(OM)^2 + (ON)^2} = \sqrt{\left(\frac{r}{2}\right)^2 + \left(\frac{r}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{r^2}{4} + \frac{r^2}{4}} = \sqrt{\frac{2r^2}{4}} = \frac{r}{\sqrt{2}} \]

3. У нас также есть отношение между длинами хорд \( EF \) и \( MN \): \[ \frac{EF}{MN} = 10 \implies EF = 10 \cdot MN = 10 \cdot \frac{r}{\sqrt{2}} = \frac{10r}{\sqrt{2}} = 5\sqrt{2}r \]

4. Теперь, чтобы найти отношение радиуса окружности \( w \) к длине хорды \( EF \), рассчитаем: \[ \frac{r}{EF} = \frac{r}{5\sqrt{2}r} = \frac{1}{5\sqrt{2}} \]

5. Вопрос заключался в том, чтобы записать квадрат этого отношения: \[ \left(\frac{r}{EF}\right)^2 = \left(\frac{1}{5\sqrt{2}}\right)^2 = \frac{1}{25 \cdot 2} = \frac{1}{50} \]

Таким образом, окончательный ответ на задачу: \( \frac{1}{50} \).