В детском лагере каждый день проводится по одному конкурсу. Каждый отличившийся в конкурсе получает вечером ровно один приз. В четверг каждый приз стоил 28 рублей, а в пятницу —…
В детском лагере каждый день проводится по одному конкурсу. Каждый отличившийся в конкурсе получает вечером ровно один приз. В четверг каждый приз стоил 28 рублей, а в пятницу — 53 рубля. При этом в пятницу суммарные затраты на призы оказались выш чем в четверг, как минимум на 1000 рублей, а число награждённых в эти дни отличалось не более чем на 2. Какое наименьшее число награждённых могло быть в четверг?
Обозначим количество награждённых в четверг как \( x \), а в пятницу как \( y \).
Согласно условию, стоимость призов в каждую из дней следующе:
- В четверг каждый приз стоит 28 рублей, значит общая стоимость призов в этот день составляет \( 28x \) рублей.
- В пятницу каждый приз стоит 53 рубля, значит общая стоимость призов в этот день составляет \( 53y \) рублей.
По условию, затраты в пятницу больше затрат в четверг как минимум на 1000 рублей: \[ 53y - 28x \geq 1000. \]
Также известно, что число награждённых в пятницу отличается от числа награждённых в четверг не более чем на 2, то есть: \[ |y - x| \leq 2. \]
Теперь рассмотрим два случая: \( y = x + k \), где \( k = -2, -1, 0, 1, 2 \).
Случай \( k = -2 \) (т.е. \( y = x - 2 \)): \[ 53(x - 2) - 28x \geq 1000. \] Упростим это уравнение: \[ 53x - 106 - 28x \geq 1000 \implies 25x - 106 \geq 1000 \implies 25x \geq 1106 \implies x \geq \frac{1106}{25} \approx 44.24. \] Значит, минимальное целое значение \( x \) будет 45.
Случай \( k = -1 \) (т.е. \( y = x - 1 \)): \[ 53(x - 1) - 28x \geq 1000. \] Упростим это: \[ 53x - 53 - 28x \geq 1000 \implies 25x - 53 \geq 1000 \implies 25x \geq 1053 \implies x \geq \frac{1053}{25} \approx 42.12. \] Значит, минимальное целое значение \( x \) будет 43.
Случай \( k = 0 \) (т.е. \( y = x \)): \[ 53x - 28x \geq 1000 \implies 25x \geq 1000 \implies x \geq 40. \]
Случай \( k = 1 \) (т.е. \( y = x + 1 \)): \[ 53(x + 1) - 28x \geq 1000. \] Упростим это: \[ 53x + 53 - 28x \geq 1000 \implies 25x + 53 \geq 1000 \implies 25x \geq 947 \implies x \geq \frac{947}{25} \approx 37.88. \] Значит, минимальное целое значение \( x \) будет 38.
Случай \( k = 2 \) (т.е. \( y = x + 2 \)): \[ 53(x + 2) - 28x \geq 1000. \] Упростим это: \[ 53x + 106 - 28x \geq 1000 \implies 25x + 106 \geq 1000 \implies 25x \geq 894 \implies x \geq \frac{894}{25} \approx 35.76. \] Значит, минимальное целое значение \( x \) будет 36.
Теперь скомпилируем все результаты:
- \( k = -2 \): \( x \geq 45 \)
- \( k = -1 \): \( x \geq 43 \)
- \( k = 0 \): \( x \geq 40 \)
- \( k = 1 \): \( x \geq 38 \)
- \( k = 2 \): \( x \geq 36 \)
Наименьшее возможное значение \( x \) среди всех случаев — 36.
Таким образом, наименьшее число награждённых в четверг — 36.
