В детском лагере каждый день проводится по одному конкурсу. Каждый отличившийся в конкурсе получает вечером ровно один приз. В четверг каждый приз стоил 40 рублей, а в пятницу — 58 рублей. При этом в пятницу суммарные затраты на призы оказались выше, чем в четверг, как минимум на 1000 рублей, а число награждённых в эти дни отличалось не более чем на 2. Какое наименьшее число награждённых могло быть в четверг?

Question 1

Задача Задача №1880692

А

Аноним

16 октября 2024 11:07 · публичный вопрос

А

Аноним 16 октября 2024 11:07

В детском лагере каждый день проводится по одному конкурсу. Каждый отличившийся в конкурсе получает вечером ровно один приз. В четверг каждый приз стоил 40 рублей, а в пятницу — 58 рублей. При этом в пятницу суммарные затраты на призы оказались выше, чем в четверг, как минимум на 1000 рублей, а число награждённых в эти дни отличалось не более чем на 2. Какое наименьшее число награждённых могло быть в четверг?

Answer

Обозначим количество награждённых в четверг за \(x\), а в пятницу — за \(y\). Тогда затраты на призы в четверг составляют \(40x\) рублей, а в пятницу — \(58y\) рублей.

Согласно условиям задачи, у нас есть два неравенства:

\(58y > 40x + 1000\), что можно переписать как \(58y - 40x > 1000\).
\(|y - x| \leq 2\), что означает, что \(y\) может быть на 2 больше или меньше \(x\):
- \(y \leq x + 2\)
- \(y \geq x - 2\)

Теперь рассмотрим оба случая, когда \(y = x + 2\) и \(y = x - 2\), чтобы найти минимальное количество награждённых в четверг.

Случай 1: \(y = x + 2\)

Подставим в первое неравенство:

\[ 58(x + 2) - 40x > 1000 \] \[ 58x + 116 - 40x > 1000 \] \[ 18x + 116 > 1000 \] \[ 18x > 884 \] \[ x > \frac{884}{18} \approx 49.33 \]

Минимальное целое значение \(x\) будет 50. Подставим \(x = 50\):

\(y = 50 + 2 = 52\). Теперь проверим затраты:

Затраты в четверг: \(40 \times 50 = 2000\) рублей.
Затраты в пятницу: \(58 \times 52 = 3016\) рублей.

Проверим неравенство:

\[ 3016 > 2000 + 1000 \] \[ 3016 > 3000 \quad (верно) \]

Случай 2: \(y = x - 2\)

Подставим в первое неравенство:

\[ 58(x - 2) - 40x > 1000 \] \[ 58x - 116 - 40x > 1000 \] \[ 18x - 116 > 1000 \] \[ 18x > 1116 \] \[ x > \frac{1116}{18} \approx 62 \]

Минимальное целое значение \(x\) будет 63. Подставим \(x = 63\):

\(y = 63 - 2 = 61\). Теперь проверим затраты:

Затраты в четверг: \(40 \times 63 = 2520\) рублей.
Затраты в пятницу: \(58 \times 61 = 3538\) рублей.

Проверим неравенство:

\[ 3538 > 2520 + 1000 \] \[ 3538 > 3520 \quad (верно) \]

Таким образом, оба случая верны, но минимальное значение награждённых в четверг, найденное в первом случае, равно 50.

Ответ: наименьшее число награждённых в четверг — 50.

Question 2

В детском лагере каждый день проводится по одному конкурсу. Каждый отличившийся в конкурсе получает вечером ровно один приз. В четверг каждый приз стоил 40 рублей, а в пятницу — 58 рублей. При этом в пятницу суммарные затраты на призы оказались выше, чем в четверг, как минимум на 1000 рублей, а число награждённых в эти дни отличалось не более чем на 2. Какое наименьшее число награждённых могло быть в четверг?

Answer

Обозначим количество награждённых в четверг за \(x\), а в пятницу — за \(y\). Тогда затраты на призы в четверг составляют \(40x\) рублей, а в пятницу — \(58y\) рублей. Согласно условиям задачи, у нас есть два неравенства: 1. \(58y > 40x + 1000\), что можно переписать как \(58y - 40x > 1000\). 2. \(|y - x| \leq 2\), что означает, что \(y\) может быть на 2 больше или меньше \(x\): - \(y \leq x + 2\) - \(y \geq x - 2\) Теперь рассмотрим оба случая, когда \(y = x + 2\) и \(y = x - 2\), чтобы найти минимальное количество награждённых в четверг. **Случай 1**: \(y = x + 2\) Подставим в первое неравенство: \[ 58(x + 2) - 40x > 1000 \] \[ 58x + 116 - 40x > 1000 \] \[ 18x + 116 > 1000 \] \[ 18x > 884 \] \[ x > \frac{884}{18} \approx 49.33 \] Минимальное целое значение \(x\) будет 50. Подставим \(x = 50\): \(y = 50 + 2 = 52\). Теперь проверим затраты: Затраты в четверг: \(40 \times 50 = 2000\) рублей. Затраты в пятницу: \(58 \times 52 = 3016\) рублей. Проверим неравенство: \[ 3016 > 2000 + 1000 \] \[ 3016 > 3000 \quad (верно) \] **Случай 2**: \(y = x - 2\) Подставим в первое неравенство: \[ 58(x - 2) - 40x > 1000 \] \[ 58x - 116 - 40x > 1000 \] \[ 18x - 116 > 1000 \] \[ 18x > 1116 \] \[ x > \frac{1116}{18} \approx 62 \] Минимальное целое значение \(x\) будет 63. Подставим \(x = 63\): \(y = 63 - 2 = 61\). Теперь проверим затраты: Затраты в четверг: \(40 \times 63 = 2520\) рублей. Затраты в пятницу: \(58 \times 61 = 3538\) рублей. Проверим неравенство: \[ 3538 > 2520 + 1000 \] \[ 3538 > 3520 \quad (верно) \] Таким образом, оба случая верны, но минимальное значение награждённых в четверг, найденное в первом случае, равно 50. Ответ: наименьшее число награждённых в четверг — **50**.