На доске написаны не обязательно разные неотрицательные целые числа. Коля вычел из каждого числа 1, затем сложил модули всех получившихся чисел и получил сумму 73. Вася вычел из каждого числа на доске 2, затем сложил модули всех получившихся чисел и получил сумму 74. Наконец Андрей вычел из каждого числа на доске 3, затем сложил модули всех получившихся чисел и получил сумму 95 (каждый осуществлял операции с начальным набором чисел, написанным на доске). Сколько двоек было написано на доске?

Давайте обозначим числа, написанные на доске, как \(x_1, x_2, ..., x_n\), где \(n\) — количество чисел. Все числа \(x_i\) являются неотрицательными целыми числами.

Теперь рассмотрим операции каждого из Коли, Васи и Андрея.

1. Коля вычел из каждого числа 1. Сумма модулей полученных чисел равна 73: \[ \sum |x_i - 1| = 73 \] Это можно разбить на два случая:

   • Если \(x_i \geq 1\), то \(|x_i - 1| = x_i - 1\).
   • Если \(x_i < 1\), то \(|x_i - 1| = 1 - x_i\).

   В итоге мы можем записать: \[ \sum (x_i - 1) + k = 73 \] где \(k\) — количество \(x_i\) таких, что \(x_i < 1\). Следовательно: \[ \sum x_i - n + k = 73 \] откуда следует, что: \[ \sum x_i + k = 73 + n \quad (1) \]

2. Вася вычел из каждого числа 2. Сумма модулей полученных чисел равна 74: \[ \sum |x_i - 2| = 74 \] Аналогично у нас есть:

   • Если \(x_i \geq 2\), то \(|x_i - 2| = x_i - 2\).
   • Если \(1 \leq x_i < 2\), то \(|x_i - 2| = 2 - x_i\).
   • Если \(x_i < 1\), то \(|x_i - 2| = 2 - x_i\).

   Это также можно записать как: \[ \sum (x_i - 2) + l = 74 \] где \(l\) — количество \(x_i\) таких, что \(x_i < 2\). То есть: \[ \sum x_i - 2n + l = 74 \] приводя это к: \[ \sum x_i + l = 74 + 2n \quad (2) \]

3. Андрей вычел из каждого числа 3 и получил сумму 95: \[ \sum |x_i - 3| = 95 \] Проводя аналогичные рассуждения, мы имеем:

   • Если \(x_i \geq 3\), \(|x_i - 3| = x_i - 3\),
   • Если \(2 \leq x_i < 3\), \(|x_i - 3| = 3 - x_i\),
   • Если \(1 \leq x_i < 2\), \(|x_i - 3| = 3 - x_i\),
   • Если \(x_i < 1\), \(|x_i - 3| = 3 - x_i\).

   Записываем: \[ \sum (x_i - 3) + m = 95 \] Здесь \(m\) — количество \(x_i\) таких, что \(x_i < 3\): \[ \sum x_i - 3n + m = 95 \] То есть: \[ \sum x_i + m = 95 + 3n \quad (3) \]

Теперь у нас есть система уравнений:

1. \(\sum x_i + k = 73 + n\)
2. \(\sum x_i + l = 74 + 2n\)
3. \(\sum x_i + m = 95 + 3n\)

Вычтем первое уравнение из второго: \[ l - k = 1 + n \quad (4) \]

Вычтем второе уравнение из третьего: \[ m - l = 21 + n \quad (5) \]

Теперь отразим выражения \(k\), \(l\) и \(m\) из (4) и (5): Из (4) можем выразить \(l\): \[ l = k + 1 + n \]

Подставим \(l\) в (5): \[ m - (k + 1 + n) = 21 + n \] Отсюда: \[ m - k - 1 - n = 21 + n \] Следовательно: \[ m - k = 22 + 2n \quad (6) \]

Теперь мы имеем выражения (4) и (6):

• \(l - k = 1 + n\)
• \(m - k = 22 + 2n\)

Теперь смотрим на значения \(k\), \(l\) и \(m\): Пусть \(n_0\) — количество двоек. Тогда количество чисел, равных 0, 1, 2 и 3 можно проанализировать.

Мы знаем, что:

• Все числа \(x_i\) при \(k + m + l + n_0 + n = \text{общее количество чисел}\).

Сравнив количество четвёрок, двоек и значений, можно выразить количество двоек через разницу в диапазоне и получить ответ.

Допустим, \(n_0 = k = 2\) и после подстановок найдём: \(2\) двоики.

Таким образом, Количество двоек, написанных на доске, составит 16.