В прямоугольном треугольнике с острым углом а катеты равны 2 cos а и 3 sin a. Найдите квадрат меньшего катета. Ответ выразите в виде не сократимой обыкновенной дроби.

В прямоугольном треугольнике с острым углом α один катет равен \(2 \cos \alpha\), а другой катет равен \(3 \sin \alpha\). Чтобы найти квадрат меньшего катета, необходимо определить, какой из катетов меньше, и затем вычислить квадрат этого катета.

Сравним два катета:

1. \(2 \cos \alpha\)
2. \(3 \sin \alpha\)

Сравнив их, получаем неравенство:

\[ 2 \cos \alpha < 3 \sin \alpha \]

Для упрощения можем разделить обе стороны на \(\cos \alpha\), при условии, что \(\cos \alpha > 0\) (это условие выполняется для острых углов):

\[ 2 < 3 \tan \alpha \implies \tan \alpha > \frac{2}{3} \]

Аналогично,

\[ 3 \sin \alpha < 2 \cos \alpha \implies \tan \alpha < \frac{2}{3} \]

Таким образом, если \(\tan \alpha < \frac{2}{3}\), то \(2 \cos \alpha\) будет меньше, а если \(\tan \alpha > \frac{2}{3}\), то меньше будет \(3 \sin \alpha\).

Рассмотрим последние два случая:

1. Если \(\tan \alpha < \frac{2}{3}\), то меньший катет — \(2 \cos \alpha\).
2. Если \(\tan \alpha > \frac{2}{3}\), то меньший катет — \(3 \sin \alpha\).

Теперь найдем квадрат меньшего катета:

1. Если \(2 \cos \alpha\) — меньший, то его квадрат будет: \[ (2 \cos \alpha)^2 = 4 \cos^2 \alpha \]

2. Если \(3 \sin \alpha\) — меньший, то его квадрат будет: \[ (3 \sin \alpha)^2 = 9 \sin^2 \alpha \]

Чтобы выразить их в одной форме, используем основное тригонометрическое соотношение \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\).

Приравняем два выражения:

\[ 4 \cos^2 \alpha = 9 \sin^2 \alpha \]

С подстановкой \(\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha\):

\[ 4 \cos^2 \alpha = 9(1 - \cos^2 \alpha) \] \[ 4 \cos^2 \alpha = 9 - 9 \cos^2 \alpha \] \[ 13 \cos^2 \alpha = 9 \] \[ \cos^2 \alpha = \frac{9}{13} \]

Тогда \(\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - \frac{9}{13} = \frac{4}{13}\).

Теперь найдем квадраты катетов:

• Для \(2 \cos \alpha\):

\[ (2 \cos \alpha)^2 = 4 \cos^2 \alpha = 4 \cdot \frac{9}{13} = \frac{36}{13} \]

• Для \(3 \sin \alpha\):

\[ (3 \sin \alpha)^2 = 9 \sin^2 \alpha = 9 \cdot \frac{4}{13} = \frac{36}{13} \]

Оба катета имеют равные квадраты при \(\tan \alpha = \frac{2}{3}\).

Таким образом, в общем случае меньший катет может быть либо \(4 \cos^2 \alpha\) либо \(9 \sin^2 \alpha\), в зависимости от значения угла \(\alpha\). Но квадрат меньшего катета в любом случае не будет больше \(\frac{36}{13}\).

Таким образом, ответом будет:

\[ \frac{36}{13} \]