Для скольких пар (р; 9), образованных целыми числами, выполняется неравенство p2 + q₴ < 4(р + q)? Пары, отличающиеся порядком элементов, считаются различными.

Для решения неравенства \( p^2 + q^2 < 4(p + q) \) начнем с преобразования неравенства:

Переносим все члены на одну сторону и упрощаем:

\[ p^2 + q^2 - 4p - 4q < 0 \]

Мы можем переписать его в виде:

\[ p^2 - 4p + q^2 - 4q < 0 \]

Теперь добавим и вычтем 4, чтобы упростить каждую квадратную часть:

\[ (p^2 - 4p + 4) + (q^2 - 4q + 4) - 8 < 0 \]

Это принимается в форме полного квадрата:

\[ (p - 2)^2 + (q - 2)^2 < 8 \]

Теперь мы видим, что это неравенство описывает круг с центром в точке (2, 2) и радиусом \( \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \).

Чтобы найти количество пар целых чисел \( (p, q) \), которые удовлетворяют данному неравенству, мы ищем все целые точки внутри круга радиуса \( 2\sqrt{2} \).

Радиус \( 2\sqrt{2} \) примерно равен \( 2.83 \), следовательно, \( p \) и \( q \) должны лежать в диапазоне примерно от \( 2 - 3 \) до \( 2 + 3 \), то есть в диапазоне от \(-1\) до \(5\).

Теперь проверим, какие целые значения \( p \) и \( q \) (в диапазоне от -1 до 5) удовлетворяют квадратному неравенству:

Для целого значения \( p \) от -1 до 5, проверяем, сколько целых значений \( q \) удовлетворяют неравенству:

1. \( p = -1 \): \( (-1 - 2)^2 + (q - 2)^2 < 8 \) → \( 9 + (q - 2)^2 < 8 \) → \( (q - 2)^2 < -1 \) (нет решений)
2. \( p = 0 \): \( (0 - 2)^2 + (q - 2)^2 < 8 \) → \( 4 + (q - 2)^2 < 8 \) → \( (q - 2)^2 < 4 \) → \( -2 < q - 2 < 2 \) → \( 0 < q < 4 \) → \( q = 1, 2, 3 \) (3 решения)
3. \( p = 1 \): \( (1 - 2)^2 + (q - 2)^2 < 8 \) → \( 1 + (q - 2)^2 < 8 \) → \( (q - 2)^2 < 7 \) → \( -\sqrt{7} < q - 2 < \sqrt{7} \) → \( -0.645 < q < 4.645 \) → \( q = 0, 1, 2, 3, 4 \) (5 решений)
4. \( p = 2 \): \( (2 - 2)^2 + (q - 2)^2 < 8 \) → \( 0 + (q - 2)^2 < 8 \) → \( (q - 2)^2 < 8 \) → \( -\sqrt{8} < q - 2 < \sqrt{8} \) → \( -2.828 < q < 4.828 \) → \( q = -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4 \) (7 решений)
5. \( p = 3 \): \( (3 - 2)^2 + (q - 2)^2 < 8 \) → \( 1 + (q - 2)^2 < 8 \) → \( (q - 2)^2 < 7 \) → аналогично \( q = 0, 1, 2, 3, 4 \) (5 решений)
6. \( p = 4 \): \( (4 - 2)^2 + (q - 2)^2 < 8 \) → \( 4 + (q - 2)^2 < 8 \) → \( (q - 2)^2 < 4 \) → \( q = 0, 1, 2, 3 \) (4 решений)
7. \( p = 5 \): \( (5 - 2)^2 + (q - 2)^2 < 8 \) → \( 9 + (q - 2)^2 < 8 \) → (нет решений)

Теперь суммируем все решения для каждого \( p \):

• \( p = 0 \): \( 3 \)
• \( p = 1 \): \( 5 \)
• \( p = 2 \): \( 7 \)
• \( p = 3 \): \( 5 \)
• \( p = 4 \): \( 4 \)

Итак, всего решений:

\[ 3 + 5 + 7 + 5 + 4 = 24 \]

Каждая пара \( (p, q) \) и \( (q, p) \) уникальна, поэтому умножаем на 2 для пар, где \( p \neq q \).

Таким образом, оказалось, что для \( (p, q) \), где \( p \neq q \):

Всего пар \( (p, q) = 24 \).

Таким образом количество всех возможных пар \( (p, q) \), удовлетворяющих неравенству: 24 пары.