(х+у)(х+z)(x+z)=1144. Найдите сумму х+y+z
Для решения уравнения \((x+y)(x+z)(y+z) = 1144\) давайте сначала разберёмся с выражением и попробуем найти значения \(x\), \(y\) и \(z\).
Вводим переменные:
- Пусть \(a = x+y\)
- Пусть \(b = x+z\)
- Пусть \(c = y+z\)
Тогда у нас получается уравнение:
\[ a \cdot b \cdot c = 1144 \]
Теперь посмотрим на то, как можно выразить \(x\), \(y\) и \(z\) через \(a\), \(b\) и \(c\):
- Из \(a = x + y\) следует, что \(y = a - x\).
- Из \(b = x + z\) следует, что \(z = b - x\).
- Из \(c = y + z\) подставляем \(y\) и \(z\) из первых двух уравнений: \[ c = (a - x) + (b - x) = a + b - 2x \]
Таким образом, мы можем выразить \(x\): \[ x = \frac{a + b - c}{2} \] И соответственно: \[ y = \frac{a + c - b}{2}, \quad z = \frac{b + c - a}{2} \]
Теперь у нас есть все переменные, связанные с \(x\), \(y\) и \(z\). Нам нужно найти сумму \(x + y + z\):
\[ x + y + z = \frac{a + b - c}{2} + \frac{a + c - b}{2} + \frac{b + c - a}{2} \]
Объединив все, получаем:
\[ x + y + z = \frac{(a + b - c) + (a + c - b) + (b + c - a)}{2} \]
Сокративаем:
\[ x + y + z = \frac{2a + 2b + 2c - (a + b + c)}{2} = \frac{a + b + c}{2} \]
Теперь нужно найти возможные значения \(a\), \(b\) и \(c\), чтобы их произведение было равно 1144. Число 1144 раскладывается на простые множители: \[ 1144 = 2^3 \times 11 \times 13 \]
Разбирая \(1144\) на множители, мы можем выбрать такие множители, чтобы \(a\), \(b\) и \(c\) были целыми числами и давали в итоге 1144.
Например, можно взять \(a = 8\), \(b = 13\), \(c = 11\) (так как \(8 \times 11 \times 13 = 1144\)).
Теперь находим их сумму: \[ x + y + z = \frac{a + b + c}{2} = \frac{8 + 11 + 13}{2} = \frac{32}{2} = 16 \]
Таким образом, сумма \(x + y + z\) равна 16.
