Треугольнике АВС со сторонами АВ = 5 , АС = 13, медиана АМ = 6. Чему равна площадь треугольника АВС?
Для нахождения площади треугольника ABC, зная длины сторон AB, AC и медиану AM, мы можем воспользоваться формулой, которая связывает длину медианы с площадью треугольника.
Сначала обозначим:
- AB = c = 5
- AC = b = 13
- AM = m_a = 6
- BC = a (длину стороны BC мы обозначим как a)
Формула для площади треугольника через медиану записывается как:
\[ S = \frac{4}{3} \sqrt{m_a^2 \cdot (b^2 + c^2 - \frac{a^2}{4})} \]
Сначала найдем длину стороны BC (a). Для этого воспользуемся свойством медианы:
\[ m_a^2 = \frac{2b^2 + 2c^2 - a^2}{4} \]
Подставим известные значения:
\[ 6^2 = \frac{2 \cdot 13^2 + 2 \cdot 5^2 - a^2}{4} \]
Это равняется:
\[ 36 = \frac{2 \cdot 169 + 2 \cdot 25 - a^2}{4} \]
Умножаем обе стороны на 4:
\[ 144 = 338 + 50 - a^2 \]
Соберем уравнение:
\[ 144 = 388 - a^2 \]
Переносим a² в левую сторону:
\[ a^2 = 388 - 144 \]
Упрощаем:
\[ a^2 = 244 \]
Находим a:
\[ a = \sqrt{244} = \sqrt{4 \cdot 61} = 2\sqrt{61} \]
Теперь мы знаем, что a = 2√61. Подставим найденные значения в формулу для площади:
\[ S = \frac{4}{3} \sqrt{6^2 \cdot \left(13^2 + 5^2 - \frac{(2\sqrt{61})^2}{4}\right)} \]
Посчитаем:
\[ S = \frac{4}{3} \sqrt{36 \cdot \left(169 + 25 - \frac{244}{4}\right)} \]
Считаем внутри скобок:
\[ S = \frac{4}{3} \sqrt{36 \cdot \left(194 - 61\right)} = \frac{4}{3} \sqrt{36 \cdot 133} \]
Упрощаем:
\[ S = \frac{4}{3} \cdot 6 \cdot \sqrt{133} = 8 \sqrt{133} \]
Таким образом, площадь треугольника ABC равна \(8 \sqrt{133} \approx 8 \cdot 11.53 \approx 92.24\).
P.S. Вы можете сократить решение с помощью других методов, если удобно.
