Три экзаменатора принимают экзамен по некоторому предмету у группы в 30 человек, причем первый опрашивает 6 студентов, второй - 3 студентов, а третий — 21 студента (выбор студентов производится случайным образом из списка). Отношение трех экзаменаторов к слабо подготовившимся различное: шансы таких студентов сдать экзамен у первого преподавателя равны 40%, у второго - только 10%, у третьего 70%. Найти вероятность того, что слабо подготовившийся студент сдаст экзамен

Для решения данной задачи мы можем использовать закон полной вероятности. Давайте обозначим события:

• \(A_1\): студент опрашивается первым преподавателем.
• \(A_2\): студент опрашивается вторым преподавателем.
• \(A_3\): студент опрашивается третьим преподавателем.
• \(B\): студент слабо подготовлен.

Обозначим вероятность того, что слабо подготовившийся студент сдаст экзамен у каждого преподавателя:

• \(P(S|A_1) = 0.4\) (вероятность успешной сдачи экзамена у первого преподавателя)
• \(P(S|A_2) = 0.1\) (вероятность успешной сдачи экзамена у второго преподавателя)
• \(P(S|A_3) = 0.7\) (вероятность успешной сдачи экзамена у третьего преподавателя)

Теперь необходимо найти вероятности, с которыми студент будет опрошен каждым из преподавателей. Общее число студентов — 30, и распределение опросов таково:

• Первый преподаватель опрашивает 6 студентов, значит, вероятность, что случайный студент будет опрошен первым преподавателем, равна \(P(A_1) = \frac{6}{30} = 0.2\).
• Второй преподаватель опрашивает 3 студента, следовательно, \(P(A_2) = \frac{3}{30} = 0.1\).
• Третий преподаватель опрашивает 21 студента, у него вероятность будет \(P(A_3) = \frac{21}{30} = 0.7\).

Теперь можем применить закон полной вероятности, чтобы найти общую вероятность успешной сдачи экзамена слабо подготовившимся студентом \(P(S)\):

\[ P(S) = P(S|A_1) \cdot P(A_1) + P(S|A_2) \cdot P(A_2) + P(S|A_3) \cdot P(A_3) \]

Подставив известные значения:

\[ P(S) = 0.4 \cdot 0.2 + 0.1 \cdot 0.1 + 0.7 \cdot 0.7 \]

Посчитаем каждое слагаемое по отдельности:

1. \(0.4 \cdot 0.2 = 0.08\)
2. \(0.1 \cdot 0.1 = 0.01\)
3. \(0.7 \cdot 0.7 = 0.49\)

Теперь сложим результаты:

\[ P(S) = 0.08 + 0.01 + 0.49 = 0.58 \]

Таким образом, вероятность того, что слабо подготовившийся студент сдаст экзамен, составляет 0.58 или 58%.