в первую строчку записали число 1 во вторую число 12 далее с строчкой ч номером k записывали число получающеесь приписыванием к предыдущей строчке числа k например в 12 строчке…

Для решения этой задачи давайте рассмотрим, как выглядят числа, записываемые в каждой строке.

1. В первой строке записываем число 1.
2. Во второй строке записываем число 12.
3. В третьей строке записываем число 123, и так далее.

В k-ой строке мы записываем все числа от 1 до k, объединяя их в одно число. В общем виде, k-ая строка записана как 123...k.

Теперь нам нужно определить, сколько из записанных строк (от 1 до 110) дают числа, которые делятся на 3.

Для проверки делимости на 3 можно использовать правило: число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3.

Рассмотрим сумму цифр числа, записанного в k-ой строке:

• В 1-й строке: 1 (сумма = 1)
• Во 2-й строке: 1 + 2 = 3 (сумма = 3)
• В 3-й строке: 1 + 2 + 3 = 6 (сумма = 6)
• В 4-й строке: 1 + 2 + 3 + 4 = 10 (сумма = 10)
• В 5-й строке: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 (сумма = 15)

Можно заметить, что сумма цифр в k-ой строке равна \( \frac{k(k+1)}{2} \) (это формула для суммы первых k натуральных чисел).

Т теперь нам нужно выяснить, сколько из чисел \( \frac{k(k+1)}{2} \) (для k от 1 до 110) делится на 3.

Чтобы это проверить, рассмотрим продукцию \( k(k+1) \). Это произведение всегда включает два последовательных числа, одно из которых обязательно делится на 2. Однако для делимости на 3, к этому нам нужно добавить условие, что одно из k или k + 1 (или оба) должно делиться на 3.

Теперь посмотрим, сколько значений k от 1 до 110 делятся на 3:

• k, которое делится на 3: это 3, 6, 9, ..., 108. Это аритметическая прогрессия с первым членом 3 и разностью 3.

Чтобы найти количество членов:

• \( a_n = 3 + (n - 1) * 3 \leq 110 \)
• \( 3n \leq 110 \)
• \( n \leq \frac{110}{3} \approx 36.67 \)

Это означает, что n может принимать значение до 36. Таким образом, чисел, которые являются кратными 3, будет 36.

Теперь добавим те k, которые не кратны 3, но для которых одно из k или k + 1 делится на 3. Эти значения будут:

• k = 2, 5, 8, ..., 109 (т.е. k-1 делится на 3) — это также 36 значений.
• k = 1, 4, 7, ..., 106 (т.е. k + 1 делится на 3) — опять 36 значений.

Таким образом, к общей численности будем считать величины для делимости:

• Всего получится 36 + 36 (некоторые строки могут считаться дважды).

С использованием комбинирования со всеми цифрами, мы можем увидеть, что избранных комбинаций в 110 значениях приведёт к \(36\) значений, которые делятся на 3.

Итак, количество строк, которые стали числами, делящимися на 3, среди первых 110 строк будет 36.