Председатель спортивной федерации поручил всю работу своим четырём заместителям и выдал им наборы печатей. Документ считается действительным, если на нём стоят печати всех…
Председатель спортивной федерации поручил всю работу своим четырём заместителям и выдал им наборы печатей. Документ считается действительным, если на нём стоят печати всех возможных видов. Необходимо сделать так, чтобы любые три заместителя могли выдать действительный документ, а никакие два не могли. Какое минимальное число видов печатей должно быть? Ответ: Сколько экземпляров всех печатей надо раздать заместителям? Ответ:
Чтобы решить задачу, мы можем использовать принцип включения-исключения и комбинаторный подход.
Количество видов печатей: Для того чтобы любые три заместителя могли выдать действительный документ, нам нужно обеспечить, чтобы каждая возможная тройка заместителей могла вместе покрыть все печати. Одновременно, чтобы никакие две заместителей не могли выдать действительный документ, нам нужно сделать так, чтобы каждая пара заместителей не имела всех видов печатей.
При 4-х заместителях (A, B, C, D) будет 4 возможные пары и 4 возможные тройки:
- Пары: (A,B), (A,C), (A,D), (B,C), (B,D), (C,D)
- Тройки: (A,B,C), (A,B,D), (A,C,D), (B,C,D)
Чтобы выполнить условия задачи, мы можем использовать 4 вида печатей, назвав их P1, P2, P3, P4.
Назначим печати следующим образом:
- Заместитель A: P1, P2
- Заместитель B: P1, P3
- Заместитель C: P1, P4
- Заместитель D: P2, P3, P4
Каждый заместитель имеет набор печатей, так что любые три из них могут обеспечить наличие всех четырех печатей.
Поэтому минимальное количество видов печатей – 4 вида.
Количество экземпляров печатей: Каждый вид печати должен быть распределен между заместителями так, чтобы любая тройка заместителей могла их использовать. Рассмотрим распределение печатей:
- P1: 3 экземпляра (A, B, C)
- P2: 3 экземпляра (A, D)
- P3: 3 экземпляра (B, D)
- P4: 3 экземпляра (C, D)
Нам нужно, чтобы печати распределялись так, чтобы любой заместитель мог использовать свои печати, и в итоге получается, что каждому заместителю необходимо иметь доступ к определенному количеству экземпляров.
Суммарно:
- P1: 3 шт.
- P2: 3 шт.
- P3: 3 шт.
- P4: 3 шт.
Таким образом, минимальное количество экземпляров печатей, необходимое для выполнения условий задачи – 12 экземпляров всех печатей (по 3 экземпляра каждого из 4 видов печатей).
Ответы:
- Минимальное число видов печатей: 4
- Экземпляры печатей для заместителей: 12.
