на доске нарисованы два правильных шестиугольника. меньший из них имеет площадь 18, а наименьшая диагональ большено шестиугольника совпадает с наибольшей диагональю меньшего…

Чтобы решить эту задачу, начнем с анализа данных о правильных шестиугольниках.

Правильный шестиугольник может быть разделен на 6 равносторонних треугольников. Площадь правильного шестиугольника можно выразить через длину его стороны \( a \) по формуле:

\[ S = \frac{3\sqrt{3}}{2} a^2 \]

У нас есть меньший шестиугольник, площадь которого равна 18. Обозначим его сторону как \( a_1 \). Подставим в формулу и найдем \( a_1 \):

\[ \frac{3\sqrt{3}}{2} a_1^2 = 18 \]

Решаем это уравнение:

\[ a_1^2 = \frac{18 \cdot 2}{3\sqrt{3}} = \frac{36}{3\sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{3} = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3} \]

Теперь найдем \( a_1 \):

\[ a_1 = \sqrt{4\sqrt{3}} = 2\sqrt[4]{3} \]

Для большего шестиугольника обозначим длину его стороны как \( a_2 \). Наименьшая диагональ большего шестиугольника равна наибольшей диагонали меньшего шестиугольника. Наибольшая диагональ правильного шестиугольника, длина стороны которого равна \( a \), равняется \( 2a \).

Из условия задачи:

\[ 2a_1 = d_{min, 2} \quad (где \, d_{min, 2} - наименьшая диагональ большего шестиугольника) \]

Следовательно, если \( a_1 = 2\sqrt[4]{3} \), то:

\[ d_{min, 1} = 2 \cdot 2\sqrt[4]{3} = 4\sqrt[4]{3} \]

Теперь наибольшая диагональ большего шестиугольника также будет рассчитываться по формуле \( 2a_2 \), где \( a_2 \) - сторона большего шестиугольника. Из этого следует:

\[ d_{max, 1} = 4\sqrt[4]{3} => 2a_2 = 4\sqrt[4]{3} => a_2 = 2\sqrt[4]{3} \]

Теперь подставим \( a_2 \) в формулу для площади большего шестиугольника:

\[ S_2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} (2\sqrt[4]{3})^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 4 \cdot \sqrt{3} = 6 \cdot 3 = 18 \]

Теперь у нас есть площади обоих шестиугольников:

• Площадь меньшего шестиугольника \( S_1 = 18 \)
• Площадь большего шестиугольника \( S_2 = 18 \)

Чтобы найти площадь фигуры, образовавшейся в результате пересечения этих двух шестиугольников, нужно учесть, что максимальная площадью, занимаемой обеими фигурами, будет равна площади большого шестиугольника, поскольку меньший шестиугольник полностью вписан в больший.

Итак, площадь пересечения равна 18, поскольку она совпадает с площадью меньшего шестиугольника. Эта фигура, образованная в результате пересечения, представляет собой меньший шестиугольник.

Ответ: Площадь фигуры, образовавшейся в результате пересечения двух шестиугольников, равна 18.