для скольких пар (p;q образованных целыми числам выполняется неравенства p²+q²<2(3p-q) пары отличающейся порядком элементов считаются различными

Чтобы решить неравенство \( p^2 + q^2 < 2(3p - q) \), сначала упростим его.

Распишем неравенство:

\[ p^2 + q^2 < 6p - 2q \]

Переместим все члены в левую часть:

\[ p^2 + q^2 + 2q - 6p < 0 \]

Теперь соберем подобные члены:

\[ p^2 - 6p + q^2 + 2q < 0 \]

Чтобы упростить дальнейшее решение, выведем квадратные формы. Начнем с \( p^2 - 6p \):

\[ p^2 - 6p = (p - 3)^2 - 9 \]

Теперь разберем \( q^2 + 2q \):

\[ q^2 + 2q = (q + 1)^2 - 1 \]

Теперь подставим эти выражения обратно в неравенство:

\[ (p - 3)^2 - 9 + (q + 1)^2 - 1 < 0 \]

Упрощая, получаем:

\[ (p - 3)^2 + (q + 1)^2 < 10 \]

Это неравенство описывает круг с центром в точке \((3, -1)\) и радиусом \(\sqrt{10}\).

Теперь нужно определить, сколько целых пар \((p, q)\) удовлетворяют этому неравенству. Для этого мы можем находить целые точки внутри круга.

Рассмотрим ограничения по \(p\) и \(q\):

• Для \(p\): \(3 - \sqrt{10} < p < 3 + \sqrt{10}\)
• Для \(q\): \(-1 - \sqrt{10} < q < -1 + \sqrt{10}\)

Посчитаем приблизительные границы:

• Поскольку \(\sqrt{10} \approx 3.16\), следовательно:
  • Для \(p\): \(3 - 3.16 \approx -0.16\) и \(3 + 3.16 \approx 6.16\)
  • Для \(q\): \(-1 - 3.16 \approx -4.16\) и \(-1 + 3.16 \approx 2.16\)

Таким образом, значения \(p\) могут принимать целые значения от 0 до 6, что дает 7 возможных значений. Значения \(q\) могут принимать целые значения от -4 до 2, что дает 7 возможных значений.

Теперь нужно перемножить количество значений \(p\) и \(q\):

\[ 7 \text{ (возможные } p\text{)} \times 7 \text{ (возможные } q\text{)} = 49 \]

Однако, поскольку порядок элементов важен и каждая пара \((p, q)\) и \((q, p)\) считается различной, нам нужно умножить на 2 для пар, где \(p \neq q\). Для пар, где \(p = q\), будет 7 таких случаев (0,0), (1,1), ... (6,6), которые мы посчитаем только один раз.

Таким образом, итоговое количество пар (где порядок важен) будет:

\[ 49 \text{ (все пары)} + 7 \text{ (пары где } p = q) = 56 \]

Итак, итоговое количество различных пар \((p, q)\), удовлетворяющих данному неравенству, составляет 56.