Из деревни в город с постоянной скоростью выехал грузовик. Когда он проехал 42 км, из деревни по той же дороге с постоянной скоростью выехал автомобиль. Когда автомобиль проехал…
Из деревни в город с постоянной скоростью выехал грузовик. Когда он проехал 42 км, из деревни по той же дороге с постоянной скоростью выехал автомобиль. Когда автомобиль проехал 30 км, грузовик находился на расстоянии 65 км от деревни. Найдите расстояние от деревни до города, если в город грузовик и автомобиль приехали одновременно. Ответ выразите в километрах.
Чтобы решить эту задачу, давайте обозначим некоторые переменные и проанализируем ситуацию.
- Обозначим расстояние от деревни до города как \( D \) км.
- Пусть скорость грузовика равна \( V_g \) км/ч, а скорость автомобиля — \( V_a \) км/ч.
Согласно условию задачи:
- Грузовик выехал из деревни и проехал 42 км, прежде чем выехал автомобиль. После этого грузовик еще проехал некоторое расстояние до момента, когда автомобиль проехал 30 км.
- Когда автомобиль проехал 30 км, грузовик находился в 65 км от деревни, то есть он проехал \( 42 + (D - 65) \) км.
Теперь давайте вычислим время, которое прошло с момента, когда грузовик выехал, и до момента, когда автомобилю было проезжено 30 км:
- Время, прошедшее для автомобиля, равно \( t_a = \frac{30}{V_a} \) ч.
- За это время грузовик проехал: \[ t_g = t_a + \frac{42}{V_g} \] То есть время, прошедшее с момента выезда грузовика до момента, когда он проехал 42 км.
Мы знаем, что они приехали в город одновременно. Следовательно, расстояние, которое проехал грузовик, равно расстоянию, которое он проехал, плюс расстояние от точки, где автомобиль выехал:
\[ \frac{D - 42}{V_g} = \frac{30}{V_a} \]
И также запишем, что когда грузовик проехал 42 + (D - 65) км, это соответствует времени, когда грузовик и автомобиль прибыли в город:
\[ \frac{D - 65}{V_g} = \frac{30}{V_a} + \frac{42}{V_g} \]
Теперь у нас есть две системы уравнений, которые можно решить, но проще будет посмотреть, что когда грузовик проехал 42 км и оставшиеся \( D - 42 \) км, а автомобиль выехал позже и проехал 30 км.
Однако, можно прямо подставить значения:
При равенстве:
\[ D - 42 = D - 65 + 30 \]
То есть, \( 30 = 23 \) (то есть, мы видим, что \( 23 + 42 = 65 \) километра, что подтверждает, что участок пути совпадает):
Теперь мы можем выразить общее расстояние.
Если грузовик проехал 42 км и до точки 65 остался ровно 23 км, то:
\[ D = 65 + (D - 65) \implies D = 65 + 30 + 42 = 107 \]
Поэтому расстояние от деревни до города равно \( D = 107 \) км.
Ответ: расстояние от деревни до города составляет 107 км.
