Дана окружность ω с центром O. Точки M и N соответственно середины радиусов OA и OB окружности ω. На окружности ω выбраны точки E и F так, что хорда EF проходит через точки M и N.…

Для решения задачи начнем с анализа данных. Пусть радиус окружности \( R \). Согласно условию, точки \( M \) и \( N \) — это середины радиусов \( OA \) и \( OB \) соответственно, что означает, что отрезки \( OM \) и \( ON \) равны половине радиусов:

\[ OM = ON = \frac{R}{2} \]

Следующим шагом будет нахождение длины хорды \( MN \). Так как точки \( M \) и \( N \) являются серединами радиусов, можно провести перпендикуляр через \( O \) к хорде \( EF \). Это перпендикуляр даст нам возможность выразить длину хорды через радиус.

Длина хорды \( EF \) делится на два отрезка \( EM \) и \( FN \), где \( E \) и \( F \) располагаются на самой окружности. В этом случае можно воспользоваться свойством, что длина хорды пропорциональна расстоянию от центра окружности до хорды.

Пусть проекция \( OM \) (или \( ON \)) на перпендикуляр к хорде \( EF \) равна \( d \). Тогда по теореме о длине хорды имеем:

\[ EF = 2 \sqrt{R^2 - d^2} \]

Где \( d \) — расстояние от центра окружности до хорды.

Согласно условию, отношение длины хорды \( EF \) к \( MN \) равно 8, то есть:

\[ \frac{EF}{MN} = 8 \]

Длину отрезка \( MN \) можно выразить как:

\[ MN = OM + ON = \frac{R}{2} + \frac{R}{2} = R \]

Теперь подставим полученное выражение в соотношение:

\[ \frac{EF}{R} = 8 \implies EF = 8R \]

Теперь нам нужно найти отношение радиуса окружности к длине хорды:

\[ \frac{R}{EF} = \frac{R}{8R} = \frac{1}{8} \]

В ответ, согласно условию задачи, мы должны записать квадрат этого отношения:

\[ \left( \frac{R}{EF} \right)^2 = \left( \frac{1}{8} \right)^2 = \frac{1}{64} \]

Итак, окончательный ответ:

\[ \frac{1}{64} \]