Дана окружность и с центром О. Точки M и № соответственно середины радиусов ОА и ОВ окружности ш. На окружности и выбраны точки Е и F так, что хорда EF проходит через точки М и №.…

Для решения данной задачи, давайте разберемся с тем, что нам известно и что требуется найти.

У нас есть окружность с центром \( O \) и радиусом \( R \). Точки \( M \) и \( N \) — это середины радиусов \( OA \) и \( OB \) соответственно. Это значит, что \( OM = \frac{R}{2} \) и \( ON = \frac{R}{2} \).

Хорда \( EF \) проходит через точки \( M \) и \( N \), и известно, что отношение длины хорды \( EF \) к отрезку \( MN \) равно 5, то есть:

\[ \frac{EF}{MN} = 5 \]

Далее мы выразим длину \( MN \). Поскольку \( M \) и \( N \) являются серединами радиусов, расстояние между ними можно найти по теореме Пифагора:

\[ MN = \sqrt{OM^2 + ON^2} = \sqrt{\left(\frac{R}{2}\right)^2 + \left(\frac{R}{2}\right)^2} = \sqrt{2 \cdot \left(\frac{R}{2}\right)^2} = \frac{R}{\sqrt{2}}. \]

Теперь подставим значение \( MN \) в выражение с отношением:

\[ EF = 5 \cdot MN = 5 \cdot \frac{R}{\sqrt{2}} = \frac{5R}{\sqrt{2}}. \]

Теперь, чтобы найти отношение радиуса окружности \( R \) к длине хорды \( EF \):

\[ \frac{R}{EF} = \frac{R}{\frac{5R}{\sqrt{2}}} = \frac{R \cdot \sqrt{2}}{5R} = \frac{\sqrt{2}}{5}. \]

Теперь мы найдем квадрат этого отношения:

\[ \left(\frac{R}{EF}\right)^2 = \left(\frac{\sqrt{2}}{5}\right)^2 = \frac{2}{25}. \]

Таким образом, ответ на задачу будет:

\[ \frac{2}{25}. \]