Найдите наименьшее число, начинающееся с цифр 11224 и делящееся на 225. Ваня выбрал на плоскости 17 точек общего положения, то есть таких, что никакие три из этих точек не лежат…

Чтобы решить первую задачу о нахождении наименьшего числа, начинающегося с цифр 11224 и делящегося на 225, нужно знать, что число 225 равно \(3^2 \times 5^2\). Это означает, что число должно делиться на 9 и на 25.

1. Чтобы число делилось на 25, его последние две цифры должны составлять одно из чисел в наборе {00, 25, 50, 75}. Для нашего числа 11224 последними цифрами могут быть только 00 или 25, так как 11224 заканчивается на 24.

2. Чтобы число делилось на 9, сумма его цифр должна делиться на 9.

Начнем с формирования числа с окончанием на 25:

• Начало числа: 11224
• Добавляем 25, получаем 1122425
• Сумма цифр: \(1 + 1 + 2 + 2 + 4 + 2 + 5 = 17\) (не делится на 9)

Теперь попробуем с окончанием 00:

• Начало числа: 11224
• Добавляем 00, получаем 1122400
• Сумма: \(1 + 1 + 2 + 2 + 4 + 0 + 0 = 10\) (не делится на 9)

Следует увеличить число, проверяя числа на деление на 225.

Прибавим 1 к числу и будем проверять:

1. \(1122400 + n \cdots 1122499\), проверяя делимость на 225.
2. 1122420: последняя цифра - 20 (не подходит).
3. 1122425: последняя цифра - 25 (попробуем).

Сумма цифр 1 + 1 + 2 + 2 + 4 + 2 + 5 = 17 (не подходит).

• Пробуем \(1122525\): 1 + 1 + 2 + 2 + 5 + 2 + 5 = 18 (подходит, делится на 9).
• Проверка делимости на 25 (окончание 25, также подходит).

Следовательно, наименьшее подходящее число – это 1122425.

Теперь перейдем ко второй задаче.

Ваня покрасил 17 точек, из которых 2 точки красные, а 15 – зелёные. Чтобы найти наименьшее количество пересечений зелёных прямых с красной прямой, нужно понимать, что красная прямая соединила две красные точки, а прочие соединяют зелёные.

Обозначим красные точки как \(R_1\) и \(R_2\).

Для каждой зелёной прямой, проходящей через две зелёные точки, она может пересекать красную прямую, если прямая, проходящая через зелёную точку пересекается с красной.

Если брать 2 красные точки и 15 зелёных:

• Прямые через зелёные должны соединять минимум 1 общую точку, чтобы пересекаться с красной прямой.

Итак, минимальное количество зелёных прямых, пересекающих красную прямую определяется как комбинации: Если из зелёных точек выбираем любые 2, а так как всего 15 зелёных, подберем комбинацию через \( \binom{15}{2} \):

• Минимум пересечений минимизируется, если 1-2 зелёные связаны с красной.

Таким образом, наименьшее количество зелёных прямых, пересекающих красную, составляет 6 (можно связать 6 зелёных с красными).

Итак, ответы на задачи:

1. Первое число: 1122425
2. Минимум пересечений зелёных: 6.