Три экзаменатора принимают экзамен по некоторому предмету у группы в 30 человек, причем первый опрашивает 6 студентов, второй - 3 студентов, а третий — 21 студента (выбор…
Три экзаменатора принимают экзамен по некоторому предмету у группы в 30 человек, причем первый опрашивает 6 студентов, второй - 3 студентов, а третий — 21 студента (выбор студентов производится случайным образом из списка). Отношение трех экзаменаторов к слабо подготовившимся различное: шансы таких студентов сдать экзамен у первого преподавателя равны 40%, у второго - только 10%, у третьего 70%. Найти вероятность того, что слабо подготовившийся студент несдаст экзамен и к какому экзаменатора он попал
Для решения задачи о вероятности того, что слабо подготовившийся студент не сдаст экзамен, давайте рассмотрим информацию, которую мы имеем:
- Количество экзаменаторов: 3.
- Экзаменаторы и количество опрашиваемых студентов:
- Первый экзаменатор (Э1): 6 студентов.
- Второй экзаменатор (Э2): 3 студента.
- Третий экзаменатор (Э3): 21 студент.
- Вероятности сдачи экзамена:
- У Э1: 40% (значит, вероятность несдачи = 60%).
- У Э2: 10% (значит, вероятность несдачи = 90%).
- У Э3: 70% (значит, вероятность несдачи = 30%).
Теперь найдем общую вероятность того, что слабо подготовившийся студент несдаст экзамен. Для этого давайте сначала вычислим вероятность того, что он попадет к каждому экзаменатору.
Вероятность того, что студент попадется к определенному экзаменатору:
- Для Э1: \( P(E1) = \frac{6}{30} = 0.2 \)
- Для Э2: \( P(E2) = \frac{3}{30} = 0.1 \)
- Для Э3: \( P(E3) = \frac{21}{30} = 0.7 \)
Теперь найдем вероятность несдачи у каждого экзаменатора:
- У Э1: \( P(N | E1) = 0.6 \)
- У Э2: \( P(N | E2) = 0.9 \)
- У Э3: \( P(N | E3) = 0.3 \)
Теперь применим теорему Байеса для нахождения общей вероятности несдачи: \[ P(N) = P(N | E1) \cdot P(E1) + P(N | E2) \cdot P(E2) + P(N | E3) \cdot P(E3) \]
Подставим наши значения: \[ P(N) = (0.6 \times 0.2) + (0.9 \times 0.1) + (0.3 \times 0.7) \] \[ P(N) = 0.12 + 0.09 + 0.21 = 0.42 \]
Таким образом, вероятность того, что слабо подготовившийся студент несдаст экзамен, составляет 42%.
Теперь, чтобы найти вероятность несдачи экзамена у конкретного экзаменатора, мы можем воспользоваться условной вероятностью:
Вероятность, что студент несдал экзамен у Э1: \[ P(N | E1) \cdot P(E1) = 0.6 \cdot 0.2 = 0.12 \]
Вероятность, что студент несдал экзамен у Э2: \[ P(N | E2) \cdot P(E2) = 0.9 \cdot 0.1 = 0.09 \]
Вероятность, что студент несдал экзамен у Э3: \[ P(N | E3) \cdot P(E3) = 0.3 \cdot 0.7 = 0.21 \]
Таким образом, мы имеем:
- У первого экзаменатора: 0.12 (или 12%),
- У второго экзаменатора: 0.09 (или 9%),
- У третьего экзаменатора: 0.21 (или 21%).
Если потренировать несколько больше, будет проще быстро считать в будущем. Удачи с экзаменами!
