квадратный трёхчлен f(x). Известно что линейная функция у=f(x+1) -f(x) обращается в ноль при х=8.при каком значении аргумента обращается в ноль функция у=f(x+3) - f(x)?

Давайте решим данную задачу шаг за шагом.

Итак, у нас есть квадратный трёхчлен \( f(x) \), и известно, что линейная функция \( u = f(x+1) - f(x) \) обращается в ноль при \( x = 8 \).

Это означает, что: \[ f(8+1) - f(8) = f(9) - f(8) = 0 \] Следовательно, \( f(9) = f(8) \). Это говорит о том, что \( x = 8 \) является корнем, который повторяется (поскольку антикорень может быть только в виде линейного фактора).

Квадратный трёхчлен имеет вид \( f(x) = a(x - r)^2 + k \), где \( r \) — это корень, при котором у нас имеется кратность 2. В нашем случае, если корень равен 8, то можно записать: \[ f(x) = a(x - 8)^2 + k. \]

Теперь рассмотрим функцию \( v = f(x+3) - f(x) \): \[ v = f(x+3) - f(x). \] Для начала, найдём \( f(x+3) \): \[ f(x+3) = a((x + 3) - 8)^2 + k = a(x - 5)^2 + k. \] Теперь подставим в функцию \( v \): \[ v = [a(x - 5)^2 + k] - [a(x - 8)^2 + k] = a(x - 5)^2 - a(x - 8)^2. \] Используя формулу разности квадратов, получим: \[ v = a[(x - 5) - (x - 8)] \cdot [(x - 5) + (x - 8)] = a \cdot 3 \cdot (2x - 13). \]

Чтобы найти, при каком значении \( x \) функция \( v \) обращается в ноль, нам нужно решить уравнение: \[ 3a(2x - 13) = 0. \] Так как \( a \neq 0 \), мы можем упростить до: \[ 2x - 13 = 0 \quad \Rightarrow \quad 2x = 13 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{13}{2} = 6.5. \]

Таким образом, функция \( v = f(x+3) - f(x) \) обращается в ноль при \( x = 6.5 \).