В прямоугольном треугольнике с острым углом а катеты равны cos a и 4 sin a. Найдите квадрат меньшего катета. Ответ выразите в виде несократимой обыкновенной дроби.

В прямоугольном треугольнике с острым углом \( a \) один катет равен \( \cos a \), а другой катет равен \( 4 \sin a \). Для того чтобы найти квадрат меньшего катета, нужно определить, какой из катетов меньше.

Сравним \( \cos a \) и \( 4 \sin a \).

Так как \( \cos a \) и \( \sin a \) – это функции, принимающие значения в диапазоне от 0 до 1 для острых углов, мы можем использовать неравенство. При это заметим, что:

\[ \cos a \leq 4 \sin a \quad \text{для } a \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right). \]

Чтобы выяснить при каких значениях угла \( a \) равенство выполняется, приравняем

\[ \cos a = 4 \sin a. \]

Преобразуем это уравнение:

\[ \cos a = 4 \sqrt{1 - \cos^2 a}. \]

Квадрат обеих сторон дает:

\[ \cos^2 a = 16 (1 - \cos^2 a), \]

что приводит к:

\[ \cos^2 a + 16 \cos^2 a = 16, \] \[ 17 \cos^2 a = 16, \] \[ \cos^2 a = \frac{16}{17}. \]

Теперь найдем \(\sin^2 a\):

\[ \sin^2 a = 1 - \cos^2 a = 1 - \frac{16}{17} = \frac{1}{17}. \]

Теперь сравним значения \( \cos a \) и \( 4 \sin a \) при \( \cos^2 a = \frac{16}{17} \) и \( \sin^2 a = \frac{1}{17} \):

\[ \cos a = \sqrt{\frac{16}{17}} = \frac{4}{\sqrt{17}}, \] \[ \sin a = \sqrt{\frac{1}{17}} = \frac{1}{\sqrt{17}}. \] Тогда \( 4 \sin a = 4 \cdot \frac{1}{\sqrt{17}} = \frac{4}{\sqrt{17}} \).

Таким образом, \( \cos a = 4 \sin a \) и эти катеты равны. Поэтому меньший катет в нашем случае будет равен \( \cos a = \frac{4}{\sqrt{17}} \) или \( 4 \sin a = \frac{4}{\sqrt{17}} \).

Теперь найдем квадрат меньшего катета:

\[ \left(\frac{4}{\sqrt{17}}\right)^2 = \frac{16}{17}. \]

Ответ: квадрат меньшего катета равен \(\frac{16}{17}\).