На доске нарисованы два правильных шестиугольника. Меньший из них имеет площадь 54, а наименьшая диагональ большего шестиугольника совпадает с наибольшей диагональю меньшего…

Чтобы решить задачу, давайте начнем с анализа площади меньшего правильного шестиугольника.

Площадь правильного шестиугольника можно вычислить по формуле:

\[ S = \frac{3\sqrt{3}}{2} a^2, \]

где \( S \) — площадь, а \( a \) — длина стороны шестиугольника.

Поскольку площадь меньшего шестиугольника равна 54, мы можем выразить длину его стороны \( a_1 \):

\[ 54 = \frac{3\sqrt{3}}{2} a_1^2. \]

Решая это уравнение для \( a_1^2 \):

\[ a_1^2 = \frac{54 \cdot 2}{3\sqrt{3}} = \frac{108}{3\sqrt{3}} = \frac{36}{\sqrt{3}} = 12\sqrt{3}. \]

Теперь мы можем найти длину стороны меньшего шестиугольника:

\[ a_1 = \sqrt{12\sqrt{3}}. \]

Далее давайте найдем длину наибольшей диагонали меньшего шестиугольника. Она равна 2 длинам стороны:

\[ d_1 = 2a_1 = 2\sqrt{12\sqrt{3}}. \]

Теперь, согласно условию, наименьшая диагональ большего шестиугольника также равна \( d_1 \). Наименьшая диагональ правильного шестиугольника равна \( a \sqrt{3} \), где \( a \) — длина стороны большего шестиугольника:

\[ a \sqrt{3} = 2\sqrt{12\sqrt{3}}. \]

Решив это уравнение для \( a \), получаем:

\[ a = \frac{2\sqrt{12\sqrt{3}}}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{4\sqrt{3}} = 4\sqrt[4]{3}. \]

Следовательно, можем найти площадь большего шестиугольника:

\[ S_2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} a^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} (4\sqrt[4]{3})^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 16\sqrt{3} = 24 \cdot 3 = 72. \]

Теперь, чтобы найти площадь фигуры, образовавшейся в результате пересечения этих двух шестиугольников, необходимо отметить, что поскольку меньший шестиугольник полностью помещается внутри большего, эта площадь будет равна площади меньшего шестиугольника.

Итак, площадь фигуры, образовавшейся в результате пересечения этих двух шестиугольников, равна:

\[ \text{Ответ: } 54. \]