В трапеции ABCD AB=CD, высота BH делит основание на два отрезка, меньший из которых равен 5 см. Найдите AD, если её средняя линия равна 9 см.

В trapeции ABCD, где AB равно CD, мы имеем равнобедренную трапецию. Давайте обозначим меньший отрезок основания, который равен 5 см, как \( AE \), а больший отрезок \( ED \) будет равен \( x \) см. Таким образом, длина основания \( AB \) можно выразить как:

\[ AB = AE + ED = 5 см + x см. \]

Согласно свойству средней линии трапеции, длина средней линии \( MN \) равна полусумме оснований:

\[ MN = \frac{AB + CD}{2}. \]

Поскольку \( AB \) и \( CD \) равны, то \( AB = CD \), и значение \( MN \) будет равно длине основания, то есть:

\[ MN = \frac{2AB}{2} = AB. \]

Исходя из условия, средняя линия равна 9 см, следовательно:

\[ AB = 9 см. \]

Теперь мы можем составить уравнение:

\[ 9 см = 5 см + x см. \]

Отсюда, чтобы найти \( x \):

\[ x = 9 см - 5 см = 4 см. \]

Теперь мы знаем, что длины оснований равны:

\[ AB = 9 см, \quad CD = 9 см. \]

Чтобы найти длину отрезка \( AD \), воспользуемся формулой для вычисления длины боковой стороны в равнобедренной трапеции. Мы можем представить \( AD \) как гипотенузу прямоугольного треугольника, где высота \( BH = h \) равна 5 см, а основание, которое делит \( AB \), равно \( 4 см \) (так как \( AE + ED = 9 см \) и \( AE = 5 см \)).

По теореме Пифагора:

\[ AD = \sqrt{h^2 + (ED)^2} = \sqrt{5^2 + 4^2} = \sqrt{25 + 16} = \sqrt{41}. \]

Таким образом, длина \( AD \) равна \( \sqrt{41} \) см. Это значение можно округлить, если необходимо, но в точности это \( \sqrt{41} \approx 6.4 \) см.