На доске нарисованы два правильных шестиугольника. Меньший из них имеет площадь 18, а наименьшая диагональ большего шестиугольника совпадает с наибольшей диагональю меньшего…

Давайте разберёмся с данной задачей шаг за шагом.

Сначала, помним, что площадь правильного шестиугольника может быть найдена по формуле:

\[ S = \frac{3\sqrt{3}}{2} a^2 \]

где \( a \) - длина стороны шестиугольника. У нас есть меньший шестиугольник с площадью 18. Подставим это значение в формулу:

\[ 18 = \frac{3\sqrt{3}}{2} a_1^2 \]

Теперь, чтобы найти \( a_1^2 \):

\[ a_1^2 = \frac{18 \cdot 2}{3\sqrt{3}} = \frac{36}{3\sqrt{3}} = \frac{12}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{3} \]

Итак, \( a_1 = \sqrt{4\sqrt{3}} = 2\sqrt[4]{3} \).

Теперь перейдём к большему шестиугольнику. Наименьшая диагональ большего шестиугольника совпадает с наибольшей диагональю меньшего. Наибольшая диагональ правильного шестиугольника равна \( 2a \), где \( a \) – длина стороны шестиугольника. Для нашего меньшего шестиугольника это:

\[ d_{max,1} = 2a_1 = 2 \cdot 2\sqrt[4]{3} = 4\sqrt[4]{3} \]

Теперь нам необходимо найти длину стороны большего шестиугольника \( a_2 \), зная, что его наименьшая диагональ также равна \( d_{min,2} = 4\sqrt[4]{3} \). Для правильного шестиугольника наименьшая диагональ определяется так же, как:

\[ d_{min,2} = \sqrt{3} a_2 \]

Следовательно, можно установить равенство:

\[ \sqrt{3} a_2 = 4\sqrt[4]{3} \]

Таким образом, решаем для \( a_2 \):

\[ a_2 = \frac{4\sqrt[4]{3}}{\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}} \cdot \sqrt[4]{3} = 4 \cdot 3^{-1/4} \]

Теперь мы можем найти площадь большего шестиугольника по аналогичной формуле:

\[ S_2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} a_2^2 \]

Сначала найдём \( a_2^2 \):

\[ a_2^2 = \left( 4 \cdot 3^{-1/4} \right)^2 = 16 \cdot 3^{-1/2} = \frac{16}{\sqrt{3}} \]

Следовательно, площадь:

\[ S_2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{16}{\sqrt{3}} = \frac{48}{2} = 24 \]

Теперь у нас есть площади обоих шестиугольников: меньший имеет площадь 18, а больший 24.

Что касается площади фигуры, образовавшейся в результате пересечения этих двух шестиугольников, то она будет равна площади меньшего шестиугольника, так как меньший шестиугольник полностью помещается внутри большего.

Таким образом, площадь фигуры, образовавшейся в результате пересечения, равна:

\[ \text{Площадь пересечения} = 18. \]

Надеюсь, это объяснение помогло вам понять решение задачи! Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать их.