решение способом гаусса x+y+z=1 3x+4y+5z=2 -4x-7y-3z=3
Чтобы решить систему уравнений методом Гаусса, представим систему в виде расширенной матрицы:
\[ \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 1 \\ 3 & 4 & 5 & | & 2 \\ -4 & -7 & -3 & | & 3 \end{bmatrix} \]
Теперь будем выполнять элементарные операции для приведения матрицы к треугольному виду.
Первым шагом мы можем убрать \(x\) из второго и третьего уравнения. Для этого вычтем 3 умноженное на первое уравнение из второго и добавим 4 умноженное на первое уравнение к третьему.
Для второго уравнения: \[ 3 - 3 \cdot 1 = 0, \quad 4 - 3 \cdot 1 = 1, \quad 5 - 3 \cdot 1 = 2, \quad 2 - 3 \cdot 1 = -1 \] Второе уравнение становится: \[ 0x + 1y + 2z = -1 \quad \Rightarrow \quad y + 2z = -1 \]
Для третьего уравнения: \[ -4 + 4 \cdot 1 = 0, \quad -7 + 4 \cdot 1 = -3, \quad -3 + 4 \cdot 1 = 1, \quad 3 + 4 \cdot 1 = 7 \] Третье уравнение становится: \[ 0x - 3y + 1z = 7 \quad \Rightarrow \quad -3y + z = 7 \]
Теперь наша матрица выглядит так:
\[ \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 1 \\ 0 & 1 & 2 & | & -1 \\ 0 & -3 & 1 & | & 7 \end{bmatrix} \]
Следующим шагом уберем \(y\) из третьего уравнения. Для этого, добавим 3 умноженное на второе уравнение к третьему:
\[ 0 + 0 = 0, \quad -3 + 3 \cdot 1 = 0, \quad 1 + 3 \cdot 2 = 7, \quad 7 + 3 \cdot (-1) = 4 \] Третье уравнение становится: \[ 0x + 0y + 7z = 4 \quad \Rightarrow \quad z = \frac{4}{7} \]
Теперь подставим \(z\) в уравнение для \(y\): \[ y + 2 \cdot \frac{4}{7} = -1 \quad \Rightarrow \quad y + \frac{8}{7} = -1 \quad \Rightarrow \quad y = -1 - \frac{8}{7} = -\frac{15}{7} \]
И теперь подставим значения \(y\) и \(z\) обратно в первое уравнение для нахождения \(x\): \[ x + (-\frac{15}{7}) + \frac{4}{7} = 1 \] \[ x - \frac{11}{7} = 1 \quad \Rightarrow \quad x = 1 + \frac{11}{7} = \frac{7}{7} + \frac{11}{7} = \frac{18}{7} \]
Итак, получаем окончательное решение:
\[ x = \frac{18}{7}, \quad y = -\frac{15}{7}, \quad z = \frac{4}{7} \]
Если вам нужна дополнительная помощь с методами решения, не стесняйтесь спрашивать!
