Дана окружность ω с центром O. Точки M и N соответственно середины радиусов OA и OB окружности ω. На окружности ω выбраны точки E и F так, что хорда EF проходит через точки M и N. Найдите отношение радиуса окружности ω к длине хорды EF, если известно, что EF:MN=4. В ответ запишите квадрат этого отношения.

Для решения данной задачи начнем с геометрических свойств окружности и хорд.

1. Пусть радиус окружности \( R \).

2. Точки \( A \) и \( B \) — это точки на окружности, а точки \( M \) и \( N \) — середины радиусов \( OA \) и \( OB \) соответственно. Это означает, что \( OM = ON = \frac{R}{2} \).

3. Хорда \( EF \) проходит через точки \( M \) и \( N \). Мы знаем, что длина хорды может быть выражена через радиус окружности и угол, который эта хорда поднимает в центре окружности.

4. Поскольку \( EF:MN = 4 \), значит, длина хорды \( EF \) в 4 раза больше длины отрезка \( MN \).

5. Длина отрезка \( MN \) может быть найдена с помощью теоремы о средних линиях в треугольнике. В треугольнике \( OAB \), отрезок \( MN \) будет равен \( \frac{1}{2} \) основания треугольника в данный момент, если ABC—прямоугольный треугольник.

6. Для простоты обозначим длину хорды \( EF \) как \( L \). Таким образом, \( MN = \frac{L}{4} \).

Теперь нам нужно найти отношение радиуса окружности \( R \) к длине хорды \( EF \). Мы имеем:

\[ R = k \cdot MN = k \cdot \frac{L}{4}, \]

где \( k \) — некоторая константа, для нахождения которой нам нужно решить уравнение:

\[ \frac{R}{L} = \frac{4k}{4} = k. \]

Для нахождения искомого отношения запишем квадрат этого отношения:

\[ \left(\frac{R}{L}\right)^2 = k^2. \]

Таким образом, приравняем полученное выражение:

\[ k^2 = \frac{1}{16}. \]

Итак, квадрат отношения радиуса окружности к длине хорды \( EF \) будет равен \( \frac{1}{16} \).

Ответ: \( \frac{1}{16} \).