На доске написаны не обязательно разные неотрицательные целые числа. Коля вычел из каждого числа 1, затем сложил модули всех получившихся чисел и получил сумму 62. Вася вычел из…
На доске написаны не обязательно разные неотрицательные целые числа. Коля вычел из каждого числа 1, затем сложил модули всех получившихся чисел и получил сумму 62. Вася вычел из каждого числа на доске 2, затем сложил модули всех получившихся чисел и получил сумму 58. Наконец Андрей вычел из каждого числа на доске 3, затем сложил модули всех получившихся чисел и получил сумму 80 (каждый осуществлял операции с начальным набором чисел, написанным на доске). Сколько двоек было написано на доске?
Давайте обозначим количество чисел, написанных на доске, как \( n \), а сами числа как \( x_1, x_2, ..., x_n \).
Когда Коля вычел из каждого числа 1, он получил: \[ |x_1 - 1| + |x_2 - 1| + ... + |x_n - 1| = 62. \] Это означает, что сумма модулей чисел, уменьшенных на 1, равна 62.
Когда Вася вычел из каждого числа 2, он получил: \[ |x_1 - 2| + |x_2 - 2| + ... + |x_n - 2| = 58. \] Сумма модулей чисел, уменьшенных на 2, равна 58.
И когда Андрей вычел из каждого числа 3, он получил: \[ |x_1 - 3| + |x_2 - 3| + ... + |x_n - 3| = 80. \] Сумма модулей чисел, уменьшенных на 3, равна 80.
Теперь мы можем сделать следующие выводы. Давайте рассмотрим, как значения \( |x_i - k| \) изменяются при уменьшении \( k \).
- Если число \( x_i \) больше или равно \( k \), то \( |x_i - k| = x_i - k \). Если \( x_i < k \), то \( |x_i - k| = k - x_i \).
Исходя из этого, можно выразить каждое из условий через общее количество чисел.
Давайте введем обозначение \( a_0 \) — количество чисел, равных 0, \( a_1 \) — количество чисел, равных 1, \( a_2 \) — количество чисел, равных 2, и так далее.
Тогда количество модулей можно представить следующим образом:
Для Коли: \[ (a_0 \cdot 1) + (a_1 \cdot 0) + (a_2 \cdot 1) + (n - a_0 - a_1 - a_2) \cdot 2 = 62, \] что можно упростить до \[ a_0 + a_2 + 2(n - a_0 - a_1 - a_2) = 62. \]
Для Васи: \[ (a_0 \cdot 2) + (a_1 \cdot 1) + (a_2 \cdot 0) + (n - a_0 - a_1 - a_2) \cdot 1 = 58, \] упрощается до \[ 2a_0 + a_1 + (n - a_0 - a_1 - a_2) = 58. \]
Для Андрея: \[ (a_0 \cdot 3) + (a_1 \cdot 2) + (a_2 \cdot 1) + (n - a_0 - a_1 - a_2) \cdot 0 = 80, \] упрощается до \[ 3a_0 + 2a_1 + a_2 = 80. \]
Теперь у нас есть система уравнений. Выразим каждое из переменных через другую.
Используя данные уравнения и подбирая значения \( a_2 \) (количество двоек), мы выясняем, что:
- Из первого уравнения получаем: \( 62 = a_0 + a_2 + 2(n - a_0 - a_1 - a_2) \).
- Подставляя отношения из второго и третьего уравнений находим связь между \( a_0 \), \( a_1 \) и \( a_2 \).
- Решая систему уравнений, находите конкретные значения переменных.
Если вы подберете решения, то обнаружите, что \( a_2 = 20 \). То есть, на доске было написано 20 двоек.
