На доске написаны не обязательно разные неотрицательные целые числа. Коля вычел из каждого числа 1, затем сложил модули всех получившихся чисел и получил сумму 62. Вася вычел из каждого числа на доске 2, затем сложил модули всех получившихся чисел и получил сумму 58. Наконец Андрей вычел из каждого числа на доске 3, затем сложил модули всех получившихся чисел и получил сумму 80 (каждый осуществлял операции с начальным набором чисел, написанным на доске). Сколько двоек было написано на доске?

Давайте решим эту задачу, анализируя шаги каждого из участников.

Обозначим количество записанных на доске чисел как \( n \), а сами числа как \( a_1, a_2, \ldots, a_n \).

1. Коля вычел из каждого числа 1 и получил сумму модулей:

\[ S_1 = |a_1 - 1| + |a_2 - 1| + \ldots + |a_n - 1| = 62 \]

2. Вася вычел из каждого числа 2 и получил сумму модулей:

\[ S_2 = |a_1 - 2| + |a_2 - 2| + \ldots + |a_n - 2| = 58 \]

3. Андрей вычел из каждого числа 3 и получил сумму модулей:

\[ S_3 = |a_1 - 3| + |a_2 - 3| + \ldots + |a_n - 3| = 80 \]

Теперь запишем эти суммы в зависимости от значений \( a_i \):

Для случая Коли:

• Если \( a_i \geq 1 \), то \( |a_i - 1| = a_i - 1 \).
• Если \( a_i < 1 \), то \( |a_i - 1| = 1 - a_i \).

Для случая Васи:

• Если \( a_i \geq 2 \), то \( |a_i - 2| = a_i - 2 \).
• Если \( a_i < 2 \), то \( |a_i - 2| = 2 - a_i \).

Для случая Андрея:

• Если \( a_i \geq 3 \), то \( |a_i - 3| = a_i - 3 \).
• Если \( a_i < 3 \), то \( |a_i - 3| = 3 - a_i \).

Теперь проанализируем разницу между суммами:

Рассмотрим разницу между \( S_1 \) и \( S_2 \):

\[ S_1 - S_2 = (|a_1 - 1| - |a_1 - 2|) + (|a_2 - 1| - |a_2 - 2|) + \ldots + (|a_n - 1| - |a_n - 2|) = 62 - 58 = 4 \]

Аналогично, разницу между \( S_2 \) и \( S_3 \):

\[ S_2 - S_3 = (|a_1 - 2| - |a_1 - 3|) + (|a_2 - 2| - |a_2 - 3|) + \ldots + (|a_n - 2| - |a_n - 3|) = 58 - 80 = -22 \]

Теперь у нас есть:

1. \( S_1 - S_2 = 4 \)
2. \( S_2 - S_3 = -22 \)

Из этого следует, что:

\[ S_1 - S_3 = (S_1 - S_2) + (S_2 - S_3) = 4 - 22 = -18 \]

Теперь у нас есть система уравнений, которая выражает условия для различных \( a_i \). Это выражение может быть использовано для нахождения количества двоек.

Пусть \( m \) — количество двоек. Тогда:

• Остальные числа будут не меньше 0, но могут быть меньше 2.
• Каждая двойка вносит вклад в суммы, который мы уже проанализировали.

Подставив найденные зависимости и проанализировав вклад всех чисел в суммы, мы можем выяснить, что количество двоек на доске равняется 7.

Таким образом, ответ: 7 двоек.