По кругу расставлены девяносто горшков. В каждом из горшков сидит хотя бы одна лягушка, и в любых трёх стоящих подряд горшках суммарно сидит ровно четыре лягушки. Сколькими способами цапля Анастасия сможет выбрать два горшка так, чтобы в них суммарно оказалось ровно три лягушки?

Чтобы решить эту задачу, давайте сначала рассмотрим условия. У нас есть 90 горшков, и в каждом из горшков есть хотя бы одна лягушка. Также в любых трех подряд идущих горшках суммарно находится ровно четыре лягушки.

Мы можем записать количество лягушек в каждом горшке как \( a_1, a_2, a_3, \ldots, a_{90} \). Из условия нам известно, что для любых трех горшков, стоящих подряд, выполняется следующее равенство:

\[ a_i + a_{i+1} + a_{i+2} = 4 \]

где индексы принимаются по модулю 90, что означает, что \((a_{91} = a_1)\), \((a_{92} = a_2)\), и так далее.

Так как под каждым горшком сидит хотя бы одна лягушка, минимальная возможная конфигурация лягушек в горшках может быть такой:

• Если в горшке 1 ( \( a_1 \) ) сидит 1 лягушка, тогда в следующем горшке 2 ( \( a_2 \) ) может сидеть 1 лягушка, а в горшке 3 ( \( a_3 \) ) должно сидеть 2 лягушки, чтобы сумма в трех горшках была равной 4.
• Однако, такие распределения будут повторяться по кругу, а это значит, что, выбирая количество лягушек, мы должны учитывать, чтобы это распределение укладывалось в общие условия задачи.

После выполнения некоторых вычислений и проверок, можно заметить, что возможны ситуации, где в горшках расположены 1, 1, 2 лягушки, и они будут повторяться.

Теперь, чтобы найти количество способов выбрать два горшка так, чтобы в них суммарно оказалось ровно 3 лягушки, мы можем рассмотреть, какие комбинации из двух горшков будут давать требуемую сумму.

Наблюдая за возможным распределением, мы увидим, что возможны такие случаи:

1. Один горшок содержит 1 лягушку, а другой – 2 лягушки.
2. Оба горшка могут содержать 1 и 2 лягушек в зависимости от их расположения.

Мы можем определить, что:

• Есть 90 горшков.
• Если всего 30 горшков содержат 1 лягушку и 60 горшков содержат 2 лягушки, то мы можем выбрать 1 горшок с 2 лягушками из 60, и 1 горшок с 1 лягушкой из 30.
• Таким образом, количество комбинаций будет:

\[ 30 \times 60 = 1800 \]

Таким образом, количество способов, которыми цапля Анастасия сможет выбрать два горшка так, чтобы в них суммарно оказалось ровно три лягушки, равно 1800.