Треугольнике АВС со сторонами АВ = 5 , АС = 13, медиана АМ = 6. Чему равна площадь треугольника АВС?

Для нахождения площади треугольника ABC с известными сторонами AB, AC и медианой AM можно воспользоваться формулой для площади через длину медианы:

\[ S = \frac{4}{3} \cdot m_a \cdot \sqrt{ \frac{(a^2 + b^2 + m_a^2)}{4} - m_a^2 } \]

где \( m_a \) — длина медианы, \( a \) и \( b \) — длины сторон, на которые делит медиана.

В нашем случае:

• \( AB = c = 5 \)
• \( AC = b = 13 \)
• \( AM = m_a = 6 \)

Теперь выясним длину стороны BC, обозначим ее как \( a \), с использованием формулы медианы:

\[ m_a^2 = \frac{2b^2 + 2c^2 - a^2}{4} \]

Подставим известные значения:

\[ 6^2 = \frac{2 \cdot 13^2 + 2 \cdot 5^2 - a^2}{4} \] \[ 36 = \frac{2 \cdot 169 + 2 \cdot 25 - a^2}{4} \] \[ 36 = \frac{338 + 50 - a^2}{4} \] \[ 144 = 338 + 50 - a^2 \] \[ a^2 = 338 + 50 - 144 = 244 \] \[ a = \sqrt{244} = 2\sqrt{61} \]

Теперь можем использовать длину медианы для расчета площади:

1. Находим полупериметр \( p \):

\[ p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{2\sqrt{61} + 13 + 5}{2} = \frac{2\sqrt{61} + 18}{2} = \sqrt{61} + 9 \]

2. Площадь треугольника \( S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \).

Сначала определим значения:

• \( p - a = \sqrt{61} + 9 - 2\sqrt{61} = 9 - \sqrt{61} \)
• \( p - b = \sqrt{61} + 9 - 13 = \sqrt{61} - 4 \)
• \( p - c = \sqrt{61} + 9 - 5 = \sqrt{61} + 4 \)

Теперь подставим в формулу для площади:

\[ S = \sqrt{(\sqrt{61} + 9)(9 - \sqrt{61})(\sqrt{61} - 4)(\sqrt{61} + 4)} \]

Упростим выражение:

\[ (\sqrt{61} - 4)(\sqrt{61} + 4) = 61 - 16 = 45 \]

Теперь подставим это в формулу:

\[ S = \sqrt{(\sqrt{61} + 9)(9 - \sqrt{61}) \cdot 45} \]

Чтобы упростить это выражение, найдем значение каждого из выражений:

\[ (\sqrt{61} + 9)(9 - \sqrt{61}) = 9^2 - 61 = 81 - 61 = 20. \]

Итак, мы имеем:

\[ S = \sqrt{20 \cdot 45} = \sqrt{900} = 30. \]

Таким образом, площадь треугольника ABC равна 30.