Аделина,Эвелинаи Паулина писали олимпиаду по математике,где за каждую задачу можно было получить некоторое целое не отрицательное количество баллов.после объявления итогов…

Давайте решим задачу шаг за шагом.

Обозначим баллы, которые получили девочки следующим образом:

• \(A\) — баллы Аделины
• \(E\) — баллы Эвелины
• \(P\) — баллы Паулины

Согласно условиям:

1. \(A = E\) (Аделина и Эвелина получили одинаковое количество баллов).
2. \(A + E > 15\) (сумма баллов Аделины и Эвелины больше 15).
3. \(A + E + P < 60\) (сумма баллов всех трех девочек меньше 60).
4. \(A + E + P = \frac{10}{3} \cdot P\) (сумма баллов всех девочек в 3⅓ раза больше, чем набрала Паулина, что эквивалентно \(\frac{10}{3} \cdot P\)).

Так как \(A = E\), мы можем заменить \(E\) на \(A\): \[2A + P < 60\] Также известно, что \(2A > 15\), следовательно: \[ A > 7.5 \]

Так как баллы — целые неотрицательные числа, то \(A\) должно быть не менее 8.

Теперь преобразим уравнение \(A + E + P = \frac{10}{3} \cdot P\): Так как \(A = E\): \[ 2A + P = \frac{10}{3} \cdot P \]

Умножим обе стороны на 3, чтобы избавиться от дроби: \[ 6A + 3P = 10P \]

Преобразуем это уравнение: \[ 6A = 10P - 3P \] \[ 6A = 7P \]

Теперь выразим \(P\) через \(A\): \[ P = \frac{6}{7} \cdot A \]

Подставим \(P\) в неравенство \(2A + P < 60\): \[ 2A + \frac{6}{7} A < 60 \]

Объединим \(A\): \[ 2A + \frac{6}{7}A = \frac{14}{7}A + \frac{6}{7}A = \frac{20}{7}A < 60 \]

Умножим обе стороны на 7: \[ 20A < 420 \]

Теперь разделим обе стороны на 20: \[ A < 21 \]

Теперь у нас есть два предела для \(A\):

1. \(A > 8\)
2. \(A < 21\)

Так как \(A\) — целое число, возможные значения для \(A\) это: 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20.

Теперь нужно проверить каждое значение \(A\) и соответствующий \(P\), чтобы убедиться, что сумма всех баллов меньше 60, и \(2A > 15\).

Проверим, например, \(A = 9\):

• \(P = \frac{6}{7} \cdot 9 = \frac{54}{7} \approx 7.71\), что не является целым числом.

Теперь посмотрим на \(A = 10\):

• \(P = \frac{6}{7} \cdot 10 = \frac{60}{7} \approx 8.57\), что также не является целым.

Теперь перейдем к \(A = 12\):

• \(P = \frac{6}{7} \cdot 12 = \frac{72}{7} \approx 10.29\), что тоже не целое.

Продолжим до \(A = 14\):

• \(P = \frac{6}{7} \cdot 14 = 12\) (целое).

Теперь проверим неравенства: \[2A + P < 60\] \[2 \cdot 14 + 12 < 60\] \[28 + 12 = 40 < 60\] (выполняется).

Подставим \(A = 14\) в уравнения: \[A + E + P = 2 \cdot 14 + 12 = 28 + 12 = 40\]

Также проверим условие \(2A > 15\): \[2 \cdot 14 = 28 > 15\] (выполняется).

Таким образом, количество баллов, набранных Аделиной, равно 14.