В первую строчку записали число 1. Во вторую строчку число 12. Далее в строчку с номером k записывали число, получающееся приписыванием к предыдущей строчке числа k Например, в 12-ой строчке будет записано число 12З45б789101112). Всего на доску выписали 110 строчек (то есть 110 чисел). Сколько из них делятся на 3?
Чтобы решить эту задачу, давайте рассмотрим, как формируется каждое следующее число.
- Первая строка: 1.
- Вторая строка: 12.
- Третья строка: 123.
- Четвёртая строка: 1234.
- Пятая строка: 12345.
- И так далее, вплоть до 110-ой строки.
Обобщая, в строке с номером k записывается число, состоящее из чисел от 1 до k, записанных подряд. Таким образом, для строки k число будет выглядеть как 123...k.
Теперь нам нужно выяснить, сколько из этих чисел делится на 3.
Для того чтобы число делилось на 3, сумма его цифр также должна делиться на 3. Рассмотрим сумму цифр числа, записанного в строке k:
Сумма цифр от 1 до k равна: \[ S_k = 1 + 2 + 3 + ... + k = \frac{k(k + 1)}{2} \]
Теперь нам нужно выяснить, при каких значениях k эта сумма делится на 3.
Мы можем проверить значения k от 1 до 110:
- Если k ≡ 0 (mod 3): \( \frac{k(k + 1)}{2} \) делится на 3.
- Если k ≡ 1 (mod 3): \( k + 1 ≡ 2 (mod 3) \) и \( k(k + 1) \) делится на 3.
- Если k ≡ 2 (mod 3): \( k + 1 ≡ 0 (mod 3) \) и \( k(k + 1) \) снова делится на 3.
Теперь давайте подсчитаем, сколько из 110 чисел соответствуют этим условиям:
- Каждый третий номер k (k = 3, 6, 9, ..., 108) будет делиться на 3 (это 36 чисел).
- Также числа, имеющие остаток 1 и 2 при делении на 3 (k = 1, 2, 4, 5, ..., 109, 110) будут вносить дополнительные цифры.
Таким образом, посчитаем количество k от 1 до 110:
- k ≡ 0 (mod 3): 36 чисел.
- k ≡ 1 (mod 3): 37 чисел.
- k ≡ 2 (mod 3): 37 чисел.
Суммируя числа, можем сказать, что всего строчек, которые делятся на 3, будет: \[ 36 + 37 + 37 = 110 \]
Таким образом, все 110 строк (чисел) делятся на 3, так как каждый из них включает в себя последовательное наращивание и за счёт этого достигается условие делимости на 3.
Ответ: 36 из них делятся на 3.
