Дана окружность и с центром О. Точки М и № соответственно середины радиусов ОА и ОВ окружности . На окружности и выбраны точки Е и F так, что хорда EF проходит через точки М и №.…

Чтобы решить задачу, давайте обозначим радиус окружности как \( R \). У нас есть окружность с центром \( O \), где \( A \) и \( B \) — концы радиусов. Точки \( M \) и \( N \) — середины радиусов \( OA \) и \( OB \) соответственно, что означает, что \( OM = ON = \frac{R}{2} \).

Хорда \( EF \) проходит через точки \( M \) и \( N \). По условию задачи мы знаем, что длина хорды \( EF \) в 10 раз больше длины отрезка \( MN \). То есть:

\[ EF = 10 \cdot MN. \]

Теперь найдем длину отрезка \( MN \). Точки \( M \) и \( N \) расположены на радиусах \( OA \) и \( OB \), и расстояние между этими точками является расстоянием между двумя радиусами, проведенными из центра окружности до ее границы. Поскольку точки \( M \) и \( N \) находятся на расстоянии \( \frac{R}{2} \) от центра \( O \) и при угле \( \alpha \) между радиусами \( OA \) и \( OB \), расстояние \( MN \) можно выразить через радиусы и угол между ними:

\[ MN = R \cdot \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right). \]

Таким образом, подставляя \( MN \) в формулу для \( EF \), получаем:

\[ EF = 10 \cdot R \cdot \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right). \]

Теперь найдем отношение радиуса окружности к длине хорды \( EF \):

\[ \frac{R}{EF} = \frac{R}{10 \cdot R \cdot \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)} = \frac{1}{10 \cdot \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)}. \]

Теперь найдём квадрат этого отношения:

\[ \left(\frac{R}{EF}\right)^2 = \left(\frac{1}{10 \cdot \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)}\right)^2 = \frac{1}{100 \cdot \sin^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)}. \]

Таким образом, ответом на задачу будет:

\[ \frac{1}{100 \cdot \sin^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)}. \]

Это и есть квадрат отношения радиуса окружности к длине хорды \( EF \).