Контрольная работа № 1. 1 вариант. 1). Решите неравенства: ). 63,4  4,2 1 3 ; ). 1 6 0 ; 3 1 ).      в х х а х б х   2). При каких значениях в значение дроби 4 2  в больше соответствующего значения дроби 2 14  в ? 3). Решите системы неравенств:           1,8 1,9 7 3 1 ; ). 3 4 0 5 8 0 ).     х х б х х а 4). Решите уравнения: а). 2х  3  7 ; б). 1  3х  37 5). Решите неравенства: а). 2х 1  3 ; б). 6х  2  5

Конечно! Давайте последовательно разберём каждое из заданий.

1. Решите неравенства:

а) \( \frac{6}{3x + 4} \leq 2x - 1 \)

Чтобы решить это неравенство, сначала умножим обе стороны на \(3x + 4\), при условии, что \(3x + 4 > 0\) (это условие необходимо, чтобы не изменить знак неравенства): \[ 6 \leq (2x - 1)(3x + 4) \] Раскроем скобки: \[ 6 \leq 6x^2 + 8x - 3x - 4 \] Соберём все члены в одну сторону: \[ 0 \leq 6x^2 + 5x - 10 \quad \text{или} \quad 6x^2 + 5x - 10 \geq 0 \]

Теперь находим корни квадратного уравнения \(6x^2 + 5x - 10 = 0\) с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-10) = 25 + 240 = 265 \] Корни будут: \[ x_1 = \frac{-5 + \sqrt{265}}{12}, \quad x_2 = \frac{-5 - \sqrt{265}}{12} \] Теперь необходимо определить интервалы, где неравенство выполняется.

б) \( \frac{1}{x - 2} < 0 \)

Эта дробь меньше нуля, когда её числитель не равен нулю и знаменатель отрицателен. Поскольку в числителе 1 всегда положительно, требуется, чтобы \(x - 2 < 0\), следовательно, \(x < 2\).

2. При каких значениях \(v\) дробь \( \frac{4}{2 - v} \) больше дроби \( \frac{2}{14 - v} \)?

Для этого неравенства мы можем переписать его: \[ \frac{4}{2 - v} > \frac{2}{14 - v} \] Умножим обе стороны на \((2 - v)(14 - v)\), при условии, что оба выражения положительны или оба отрицательны (на практике придётся рассмотреть разные интервалы для в): \[ 4(14 - v) > 2(2 - v) \] Раскрыв скобки: \[ 56 - 4v > 4 - 2v \] Приведём подобные: \[ 56 - 4 > 2v - 4v \quad \Rightarrow \quad 52 > -2v \quad \Rightarrow \quad v > -26 \]

3. Решите системы неравенств:

а) \[ \begin{cases} x - 1.8 < 0 \\ 3x - 1.9 \geq 0 \end{cases} \]

Первое неравенство: \[ x < 1.8 \]

Второе: \[ 3x \geq 1.9 \quad \Rightarrow \quad x \geq \frac{1.9}{3} \approx 0.633 \]

Таким образом, система решается, когда \[ 0.633 \leq x < 1.8 \]

б) \[ \begin{cases} \pi x - 3 < 0 \\ 5x + 8 \geq 0 \end{cases} \]

Первое неравенство: \[ x < \frac{3}{\pi} \]

Второе: \[ 5x \geq -8 \quad \Rightarrow \quad x \geq -\frac{8}{5} = -1.6 \]

Система решений: \[ -1.6 \leq x < \frac{3}{\pi} \]

4. Решите уравнения:

а) \( 2x + 3 = 7 \)

Вычтем 3 из обеих сторон: \[ 2x = 4 \quad \Rightarrow \quad x = 2 \]

б) \( 1 - 3x = 37 \)

Вычтем 1 из обеих сторон: \[ -3x = 36 \quad \Rightarrow \quad x = -12 \]

5. Решите неравенства:

а) \( 2x - 1 < 3 \)

Прибавим 1 к обеим сторонам: \[ 2x < 4 \quad \Rightarrow \quad x < 2 \]

б) \( 6x + 2 \geq 5 \)

Вычтем 2 из обеих сторон: \[ 6x \geq 3 \quad \Rightarrow \quad x \geq 0.5 \]

Надеюсь, это поможет вам в решении контрольной работы! Если остались вопросы, пожалуйста, обращайтесь!