на доске нарисованы два правильных шестиугольника. меньший из них имеет площадь 18, а наименьшая диагональ большего шестиугольника совпадает с наибольшей диагональю меньшего…

Для решения задачи начнем с определения площади правильного шестиугольника. Площадь правильного шестиугольника можно вычислить по формуле:

\[ S = \frac{3\sqrt{3}}{2} a^2, \]

где \(a\) — длина стороны шестиугольника.

Мы знаем, что площадь меньшего шестиугольника равна 18:

\[ \frac{3\sqrt{3}}{2} a_1^2 = 18. \]

Решим это уравнение для нахождения длины стороны меньшего шестиугольника \(a_1\):

\[ a_1^2 = \frac{18 \cdot 2}{3\sqrt{3}} = \frac{36}{3\sqrt{3}} = \frac{12}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{3}. \]

Следовательно,

\[ a_1 = \sqrt{4\sqrt{3}} = 2 \cdot (\sqrt[4]{3}). \]

Теперь найдем длину наибольшей диагонали меньшего шестиугольника. Наибольшая диагональ правильного шестиугольника равна двойной длине его стороны:

\[ d_{\text{max}}(меньший) = 2a_1 = 2 \cdot 2 \cdot \sqrt[4]{3} = 4\sqrt[4]{3}. \]

Теперь, согласно условию задачи, наименьшая диагональ большего шестиугольника совпадает с наибольшей диагональю меньшего шестиугольника. Наименьшая диагональ правильного шестиугольника равна длине одной стороны (половина высоты):

\[ d_{\text{min}}(большой) = a_2, \]

где \(a_2\) — длина стороны большего шестиугольника. Мы из этого можем определить сторону большего шестиугольника:

\[ a_2 = 4\sqrt[4]{3}. \]

Так как нам нужно найти площадь большего шестиугольника, подставим длину стороны в формулу для площади:

\[ S_{большой} = \frac{3\sqrt{3}}{2} a_2^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} (4\sqrt[4]{3})^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 16 \sqrt{3} = 24 \cdot 3 = 72. \]

Теперь, чтобы найти площадь фигуры, образовавшейся в результате пересечения двух шестиугольников, необходимо учитывать, что меньший шестиугольник полностью содержится внутри большего шестиугольника. Таким образом, площадь пересечения этих двух фигур будет равна площади меньшего шестиугольника.

Ответ: площадь фигуры, образовавшейся в результате пересечения двух шестиугольников, составляет 18.