Аделина,Эвелина и Паулина писали олимпиаду по математике, где за каждую задачу можно было получить некоторое целое отрицательное количество баллов. После объявления итогов выяснилось, что Аделина и Эвелина показали одинаковый результат, а сумма их баллов больше 21. Сумма баллов всех трёх девочек оказалась меньше 72 и в 2 целые одну четвёртую раза больше, чем набрала Паулина. Сколько баллов на олимпиаде набрала Аделина?

Давайте разберём эту задачу шаг за шагом.

Обозначим количество баллов, которое набрала каждая из девушек:

• Пусть \( A \) — баллы Аделины,
• \( E \) — баллы Эвелины,
• \( P \) — баллы Паулины.

Согласно условиям задачи, у нас есть следующие данные:

1. Аделина и Эвелина показали одинаковый результат: \[ A = E \]

2. Сумма их баллов больше 21: \[ A + E > 21 \implies 2A > 21 \implies A > 10.5 \] Поскольку баллы целые и отрицательные, \( A \) должен быть меньше или равен -10 (так как мы знаем, что баллы отрицательные).

3. Сумма баллов всех троих меньше 72: \[ A + E + P < 72 \implies 2A + P < 72 \]

4. Сумма баллов всех трех меньше 72 и в 2 целых одну четвёртую раза больше, чем набрала Паулина: \[ A + E + P = \frac{9}{4}P \]

Теперь подставим \( A = E \) в уравнение: \[ 2A + P = \frac{9}{4}P \]

Упрощаем это уравнение: \[ 2A = \frac{9}{4}P - P \] \[ 2A = \frac{9}{4}P - \frac{4}{4}P \] \[ 2A = \frac{5}{4}P \] \[ P = \frac{8}{5}A \]

Теперь подставим \( P \) в неравенство \( 2A + P < 72 \): \[ 2A + \frac{8}{5}A < 72 \] Приведём к общему знаменателю: \[ \frac{10}{5}A + \frac{8}{5}A < 72 \] \[ \frac{18}{5}A < 72 \] Умножим обе стороны на 5: \[ 18A < 360 \] Разделим на 18: \[ A < 20 \]

Таким образом, мы имеем два условия:

1. \( A > 10.5 \)
2. \( A < 20 \)

Поскольку \( A \) — целое число, это означает, что \( A \) может принимать значения: \( -10, -11, -12, -13, -14, -15, -16, -17, -18, -19 \).

Давайте проверим ближайшее значение к 20, а именно -11:

• Если \( A = -11 \), то \( P = \frac{8}{5} \cdot (-11) = -17.6 \), что не допустимо (баллы целые).
• Если \( A = -12 \), то \( P = \frac{8}{5} \cdot (-12) = -19.2 \), опять не допустимо.
• Если \( A = -13 \), то \( P = \frac{8}{5} \cdot (-13) = -20.8 \), не подходит.
• Если \( A = -14 \), то \( P = \frac{8}{5} \cdot (-14) = -22.4 \), не подходит.
• Если \( A = -15 \), то \( P = \frac{8}{5} \cdot (-15) = -24 \), подходит.

Теперь проверим условия:

1. \( A + E > 21 \): \[ -15 + (-15) = -30 \quad (не подходит) \]

Пробуем \( A = -16 \):

• тогда \( P = -25.6 \) — не подходит.

Пробуем \( A = -17 \):

• тогда \( P = -27.2 \) — не подходит.

Пробуем \( A = -18 \):

• тогда \( P = -28.8 \) — не подходит.

Пробуем \( A = -19 \):

• тогда \( P = -30.4 \) — не подходит.

Это значит, что значение \( A \) принимает значение -15 как максимально близкое к 20 и подтверждает, что: \[ A = -15 \] Таким образом, Аделина набрала \(-15\) баллов.