По кругу расставлены девяносто горшков.В каждом из горшков сидит хотя бы одна лягушка,и в любых трёх стоящих подряд горшках суммарно сидит ровно четыре лягушки.Сколькими способами цапля Анастасия сможет выбрать два горшка так,чтобы в них суммарно оказалось ровно три лягушки

Чтобы решить эту задачу, давайте сначала введем некоторые обозначения. Пусть \( a_i \) — количество лягушек в \( i \)-ом горшке, где \( i = 1, 2, \ldots, 90 \). Из условия задачи мы знаем, что для любых трех подряд стоящих горшков выполняется равенство:

\[ a_i + a_{i+1} + a_{i+2} = 4 \]

Это условие необходимо для всех \( i \), при этом следует учитывать, что индексы горшков следует рассматривать по модулю 90.

Шаг 1: Выявление связей между лягушками в горшках

Теперь можно рассмотреть частности значений \( a_i \). Обозначим количество лягушек в трех подряд стоящих горшках:

• \( a_1 + a_2 + a_3 = 4 \)
• \( a_2 + a_3 + a_4 = 4 \)
• \( a_3 + a_4 + a_5 = 4 \)
• и так далее, до \( a_{90} + a_1 + a_2 = 4 \).

Из первого уравнения выражаем \( a_3 \):

\[ a_3 = 4 - a_1 - a_2. \]

Теперь заменим \( a_3 \) во втором уравнении:

\[ a_2 + (4 - a_1 - a_2) + a_4 = 4. \]

Упрощая это уравнение, получаем:

\[ a_4 = a_1. \]

Шаг 2: Проверка цикличности

Затем подставляем \( a_4 \) в следующее уравнение:

\[ (4 - a_1 - a_2) + a_1 + a_5 = 4, \]

откуда можем выразить \( a_5 \):

\[ a_5 = a_2. \]

Таким образом, мы можем видеть, что значения \( a_i \) периодичны с периодом 2. То есть так:

• \( a_1 = x \)
• \( a_2 = y \)
• \( a_3 = 4 - x - y \)
• \( a_4 = x \)
• \( a_5 = y \)
• \( a_6 = 4 - x - y \)

И так продолжается, где \( x + y + (4 - x - y) = 4 \).

Шаг 3: Условия для выбора горшков

Теперь нам необходимо сосчитать количество способов выбрать два горшка, в которых будет ровно 3 лягушки. Для этого возможны следующие варианты:

1. Один горшок с 0 лягушками и один с 3 лягушками.
2. Один горшок с 1 лягушкой и один с 2 лягушками.

Подходящие варианты:

Из условия задачи видно, что по конструкции мы можем использовать:

• \( x = 1, y = 2 \)
• \( x = 2, y = 1 \)
• \( x = 0, y = 4 \) (и подобные по симметрии).

Рассмотрим вариант:

1. \( 0, 3 \): исключено, так как в каждом горшке хотя бы одна лягушка.
2. \( 1, 2 \): применимо.

Если \( x = 1 \) и \( y = 2 \), то:

• Горшок с 1 лягушкой (места 1, 4, 7, ... 88 по всем периодам).
• Горшок с 2 лягушками (места 2, 5, 8, ... 89 по всем периодам).

Заключение

Рассчитываем:

Горшков с 1 лягушкой: 30. Горшков с 2 лягушками: 30.

Следовательно, пара горшков с 1 и 2 лягушками по 30 возможных в каждом случае создает:

\[ 30 \times 30 = 900. \]

Таким образом, ответ:

\[ \text{Ответ: } 900. \]