Разность арифметической прогрессии равна её двенадцатому члену. Найдите одиннадцатый член этой прогрессии

Для решения задачи сначала обозначим параметры арифметической прогрессии. Пусть \( a \) — первый член прогрессии, а \( d \) — разность прогрессии. Общий член арифметической прогрессии можно выразить формулой:

\[ a_n = a + (n - 1) \cdot d \]

В данном случае нам известны следующие данные:

1. Разность арифметической прогрессии равна её двенадцатому члену:

   \[ d = a_{12} \]

2. Двенадцатый член прогрессии можно выразить как:

   \[ a_{12} = a + 11d \]

Подставим это выражение для \( a_{12} \) в уравнение, которое связывает разность и двенадцатый член:

\[ d = a + 11d \]

Переносим \( 11d \) в левую часть уравнения:

\[ d - 11d = a \]

Получаем:

\[ -10d = a \quad \Rightarrow \quad a = -10d \]

Теперь найдем одиннадцатый член прогрессии \( a_{11} \):

\[ a_{11} = a + 10d \]

Подставляем найденное выражение для \( a \):

\[ a_{11} = -10d + 10d \]

В результате имеем:

\[ a_{11} = 0 \]

Таким образом, одиннадцатый член арифметической прогрессии равен \( 0 \).