Петр выписывает на карточках трехзначные числа от 100 до 300 включительно (каждое — ровно один раз) и раскладывает их на кучки так, чтобы в одну кучку попали все карточки с одной и той же суммой чисел. После этого Вася забирает себе кучку, в которой наибольшее количество карточек (если таких кучек несколько, он берет любую из них). Чему может равняться сумма цифр у каждого из Васиных чисел ?

Чтобы определить, какой может быть сумма цифр у трехзначных чисел от 100 до 300, давайте сначала рассмотрим, какие числа мы имеем.

Трехзначные числа от 100 до 300 начинаются с цифры 1 или 2. Это значит, что у нас есть два случая:

1. Числа, начинающиеся с 1: от 100 до 199.
2. Числа, начинающиеся с 2: от 200 до 299.

Теперь давайте рассмотрим, как можно вычислить сумму цифр.

Для чисел от 100 до 199:

Сумма цифр чисел 1XY, где X и Y – это любые цифры от 0 до 9. В этом случае сумма будет равняться: \[ S = 1 + X + Y \] X и Y могут принимать значения от 0 до 9.

• Минимальная сумма цифр: \( S_{min} = 1 + 0 + 0 = 1 \)
• Максимальная сумма цифр: \( S_{max} = 1 + 9 + 9 = 19 \)

Таким образом, возможные значения суммы цифр в этом диапазоне варьируются от 1 до 19.

Для чисел от 200 до 299:

Сумма цифр чисел 2XY, где X и Y также могут быть от 0 до 9. Сумма в этом случае будет: \[ S = 2 + X + Y \]

• Минимальная сумма цифр: \( S_{min} = 2 + 0 + 0 = 2 \)
• Максимальная сумма цифр: \( S_{max} = 2 + 9 + 9 = 20 \)

Таким образом, возможные значения суммы цифр для этих чисел варьируются от 2 до 20.

Объединяя оба диапазона:

Теперь объединим возможные суммы цифр из обоих диапазонов.

• Для чисел от 100 до 199: 1, 2, ..., 19
• Для чисел от 200 до 299: 2, 3, ..., 20

Объединяя эти два диапазона, можно получить все значения от 1 до 20.

Таким образом, суммы цифр у карточек, которые может взять Вася, могут равняться числам от 1 до 20 включительно.