Найдите периметр прямоугольника АВСD, если биссектриса угла А делит сторону: а) ВС на отрезки 45,6 см и 7,85 см; б) DC на отрезки 2,7 дм и 4,5 дм.

Чтобы найти периметр прямоугольника АВСD, мы можем использовать свойства биссектрисы. Биссектрисы угла делят противоположную сторону в отношении последовательных длин соседних сторон прямоугольника.

Часть а)

Дано, что биссектрисa угла А делит сторону ВC на отрезки 45,6 см и 7,85 см. Обозначим:

• \( BC = 45,6 + 7,85 = 53,45 \) см.

Поскольку прямоугольник имеет равные стороны, обозначим \( AB = x \) и \( AD = y \). Длина стороны, противоположной BC (то есть AD), будет оставаться равной \( AB \).

Согласно свойству биссектрисы, имеет место: \[ \frac{AB}{AD} = \frac{BC_1}{BC_2} = \frac{45,6}{7,85} \] Это можно записать как: \[ \frac{x}{y} = \frac{45,6}{7,85} \] Переписываем это уравнение: \[ x = c \cdot 45,6, \quad y = c \cdot 7,85 \] Для нахождения \(x\) и \(y\) нам нужно выбрать константу \(c\). Но так как мы ищем периметр, нам необходимо сравнить обе длины.

Теперь периметр \(P\) прямоугольника можно найти по формуле: \[ P = 2(x + y) = 2(c \cdot 45,6 + c \cdot 7,85) = 2c(45,6 + 7,85) = 2c \cdot 53,45 \] Поскольку \(c\) отменяется, прямоугольник может быть любого масштаба, и мы можем выразить периметр следующим образом: \[ P = 2 \cdot 53,45 = 106,9 \text{ см}. \]

Часть б)

В этом случае биссектрисa делит сторону DC на отрезки 2,7 дм и 4,5 дм. Переведем дм в см (1 дм = 10 см):

• \( DC = 2,7 \cdot 10 + 4,5 \cdot 10 = 27 + 45 = 72 \) см.

Снова применим тот же подход: \[ \frac{AB}{AD} = \frac{2,7}{4,5}. \] Записываем так же как ранее: \[ x = c \cdot 27, \quad y = c \cdot 45. \]

Теперь периметр \(P\): \[ P = 2(c \cdot 27 + c \cdot 45) = 2c(27 + 45) = 2c \cdot 72. \] Таким образом, периметр также равен: \[ P = 2 \cdot 72 = 144 \text{ см}. \]

Ответ:

а) 106,9 см; б) 144 см.