В первую строчку записали число 1. Во вторую строчку число 12. Далее в строчку c номером k записывали число, получающееся приписыванием к предыдущей строчке числа k. Например, в…
В первую строчку записали число 1. Во вторую строчку число 12. Далее в строчку c номером k записывали число, получающееся приписыванием к предыдущей строчке числа k. Например, в 12‑ой строчке будет записано число 123456789101112). Всего на доску выписали 101 строчек (то есть 101 чисел). Сколько из них делятся на 3?
Чтобы решить эту задачу, давайте подробнее рассмотрим, как записываются числа в каждой строке.
В первой строке мы записали число 1, во второй — 12. С каждой новой строкой в числа добавляются последовательные натуральные числа.
Для k-й строки мы записываем числа от 1 до k, соединённые вместе. Например:
- В 1-й строке: 1
- Во 2-й строке: 12
- В 3-й строке: 123
- В 4-й строке: 1234
- ...
- В 12-й строке: 123456789101112
Теперь, чтобы узнать, сколько из этих чисел делятся на 3, нам нужно помнить правило делимости на 3: число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3.
Рассмотрим, как считать цифры для k-й строки:
Сумма цифр k-й строки – это сумма всех чисел от 1 до k, расписанных в строке:
- Для 1 → 1
- Для 2 → 1 + 2 = 3
- Для 3 → 1 + 2 + 3 = 6
- Для 4 → 1 + 2 + 3 + 4 = 10
- Для 5 → 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15
- И так далее...
Формула для суммы первых n натуральных чисел:
\[ S = \frac{n(n + 1)}{2} \]
Теперь мы можем проверить делимость на 3 для каждого k от 1 до 101. Ищем, при каких k сумма \( S \) делится на 3.
Проверим:
- k = 1: \( S = \frac{1 \cdot (1 + 1)}{2} = 1 \) (не делится на 3)
- k = 2: \( S = 3 \) (делится на 3)
- k = 3: \( S = 6 \) (делится на 3)
- k = 4: \( S = 10 \) (не делится на 3)
- k = 5: \( S = 15 \) (делится на 3)
- k = 6: \( S = 21 \) (делится на 3)
- k = 7: \( S = 28 \) (не делится на 3)
- k = 8: \( S = 36 \) (делится на 3)
- k = 9: \( S = 45 \) (делится на 3)
- k = 10: \( S = 55 \) (не делится на 3)
- k = 11: \( S = 66 \) (делится на 3)
- k = 12: \( S = 78 \) (делится на 3)
- k = 13: \( S = 91 \) (не делится на 3)
- k = 14: \( S = 105 \) (делится на 3)
- k = 15: \( S = 120 \) (делится на 3)
Продолжая таким образом до 101, можно заметить, что:
- Сумма \( S \) будет делиться на 3 через каждые три k (или каждое третье k): 2, 3, 5, 6, 8, 9, 11, 12, 14, 15 и так далее.
Таким образом, можно подвести итог:
Количество k от 1 до 101, для которых сумма делится на 3, равно 34.
Итак, из 101 строки, 34 числа делятся на 3.
