Про натуральное числа x, y и z известно,что (x+y)(x+z)(y+z)=176 найдите сумму x+y+z

Для решения данной задачи используем известное равенство:

\[ (x+y)(x+z)(y+z) = 176. \]

Разложим выражение на множители. Подставим \(a = x+y\), \(b = x+z\), \(c = y+z\). Тогда:

\[ abc = 176. \]

Теперь выразим \(x\), \(y\) и \(z\) через \(a\), \(b\) и \(c\):

\[ x = \frac{a+b-c}{2}, \] \[ y = \frac{a+c-b}{2}, \] \[ z = \frac{b+c-a}{2}. \]

Теперь нам нужно найти сумму \(x + y + z\):

\[ x + y + z = \frac{(a+b-c) + (a+c-b) + (b+c-a)}{2} = \frac{a+b+c}{2}. \]

Таким образом, для нахождения \(x + y + z\) нам нужно найти \(a + b + c\).

Теперь найдем возможные множители числа 176. Разложение на простые множители числа 176:

\[ 176 = 2^4 \cdot 11. \]

Теперь найдем все возможные тройки положительных множителей, произведение которых дает 176:

1. \(1, 1, 176\)
2. \(1, 2, 88\)
3. \(1, 4, 44\)
4. \(1, 8, 22\)
5. \(1, 11, 16\)
6. \(2, 2, 44\)
7. \(2, 4, 22\)
8. \(2, 8, 11\)
9. \(4, 4, 11\)

Теперь проверим, где \(a + b + c\) четное число. Ведь только в этом случае возможно равенство \(x+y+z\) в натуральных числах:

• \(1 + 1 + 176 = 178\) (четное)
• \(1 + 2 + 88 = 91\) (нечетное)
• \(1 + 4 + 44 = 49\) (нечетное)
• \(1 + 8 + 22 = 31\) (нечетное)
• \(1 + 11 + 16 = 28\) (четное)
• \(2 + 2 + 44 = 48\) (четное)
• \(2 + 4 + 22 = 28\) (четное)
• \(2 + 8 + 11 = 21\) (нечетное)
• \(4 + 4 + 11 = 19\) (нечетное)

Теперь нам подходят тройки:

1. \(1, 1, 176\) — \(x+y+z = 89\)
2. \(1, 11, 16\) — \(x+y+z = 28\)
3. \(2, 2, 44\) — \(x+y+z = 24\)
4. \(2, 4, 22\) — \(x+y+z = 28\)

Попробуем найти конкретные натуральные числа \(x, y, z\) из этих величин. Посмотрим на:

• \(a = 2, b = 4, c = 22 \Rightarrow x = 2, y = 4, z = 22\)

Таким образом, сумма \(x + y + z = 28\).

Во всех случаях \(x+y+z = 28.\)

Следовательно, ответ:

\[ \boxed{28}. \]