На прямой отмечены 5 точек 𝑃, 𝑄, 𝑅, 𝑆, 𝑇, именно в таком порядке. Известно, что сумма расстояний от 𝑃 до остальных 4 точек равна 79, а сумма расстояний от 𝑄 до остальных 4…

Чтобы решить эту задачу, давайте обозначим расстояния между точками. Пусть расстояние между точками \( P \) и \( Q \) равно \( x \). Также обозначим расстояния между остальными точками следующими переменными:

• \( d_{PQ} = x \)
• \( d_{PR} \)
• \( d_{PS} \)
• \( d_{PT} \)
• \( d_{QR} \)
• \( d_{QS} \)
• \( d_{QT} \)
• \( d_{RS} = d_{QR} - d_{PQ} \)
• \( d_{RT} = d_{QR} + d_{QS} - d_{PR} \)
• \( d_{ST} = d_{QS} + d_{QT} - d_{PS} \)

У нас есть два уравнения, основанных на заданных условиях:

1. Сумма расстояний от точки \( P \) до остальных точек равна 79: \[ d_{PQ} + d_{PR} + d_{PS} + d_{PT} = 79 \]

2. Сумма расстояний от точки \( Q \) до остальных точек равна 37: \[ d_{PQ} + d_{QR} + d_{QS} + d_{QT} = 37 \]

Теперь подставим \( d_{PQ} = x \) в оба уравнения.

Для первого уравнения: \[ x + d_{PR} + d_{PS} + d_{PT} = 79 \]

Для второго уравнения: \[ x + d_{QR} + d_{QS} + d_{QT} = 37 \]

Теперь, чтобы упростить задачу, мы можем выразить неизвестные расстояния через \( x \). Используя относительные расстояния, можно заметить, что разница между суммами расстояний от \( P \) и \( Q \) слагаемыми зависит от их расположения на прямой. Давайте найдем \( PQ \).

Формально, мы можем записать: \[ d_{QR} = d_{PR} - x \] \[ d_{QS} = d_{PS} - x \] \[ d_{QT} = d_{PT} - x \]

Подстановка всех этих значений в суммы, упрощает обе формулы к: \( PQ + \) остаточные расстояния с учетом \( x \).

Теперь, вычитая второе уравнение из первого: \[ (79 - 37) = (d_{PT} + d_{PS} - d_{QT} - d_{QS}) \] Мы знаем, что: \[ d_{PT} + d_{PS} - d_{QT} - d_{QS} = x \] Здесь мы расследуем, что \( P \) на 42 позиции далее, чем \( Q \). Отсюда получаем длину отрезка \( PQ = 42 \).

Таким образом, длина отрезка \( PQ \) равна 42.