На доске нарисованы два правильных шестиугольника. Меньший из них имеет площадь 36,а наименьшая диагональ большего шестиугольника совпадает с наибольшей диагональю меньшего шестиугольника. Найдите площадь фигуры , образовавшейся в результате пересечения этих двух шестиугольников

Для решения задачи сначала найдем размеры и свойства обоих шестиугольников.

1. Площадь меньшего шестиугольника: Площадь правильного шестиугольника выражается формулой: \[ S = \frac{3\sqrt{3}}{2} a^2, \] где \( a \) - длина стороны шестиугольника.

   Дано, что площадь меньшего шестиугольника равна 36. Подставим значение в формулу: \[ 36 = \frac{3\sqrt{3}}{2} a^2. \] Выразим \( a^2 \): \[ a^2 = \frac{36 \cdot 2}{3\sqrt{3}} = \frac{72}{3\sqrt{3}} = \frac{24\sqrt{3}}{3} = 8\sqrt{3}. \] Таким образом, \( a = \sqrt{8\sqrt{3}} = 2\sqrt[4]{3} \).

2. Наибольшая диагональ меньшего шестиугольника: Наибольшая диагональ правильного шестиугольника равна удвоенной длине его стороны: \[ D_{\text{меньшего}} = 2a = 2 \cdot 2\sqrt[4]{3} = 4\sqrt[4]{3}. \]

3. Наименьшая диагональ большего шестиугольника: Эту диагональ определяют за счет того, что она совпадает с наибольшей диагональю меньшего шестиугольника, то есть: \[ D_{\text{большого}} = 4\sqrt[4]{3}. \] Если обозначить сторону большего шестиугольника как \( b \), то максимальная диагональ большого шестиугольника равна \( 2b \). Таким образом, у нас есть: \[ 2b = 4\sqrt[4]{3} \implies b = 2\sqrt[4]{3}. \]

4. Площадь большего шестиугольника: Площадь большего шестиугольника можно найти по той же формуле: \[ S = \frac{3\sqrt{3}}{2} b^2. \] Вычислим \( b^2 \): \[ b^2 = (2\sqrt[4]{3})^2 = 4\sqrt{3}. \] Подставим это значение в формулу площади: \[ S_{\text{большого}} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 4\sqrt{3} = 6 \cdot 3 = 18. \]

5. Пересечение шестиугольников: Поскольку более крупный шестиугольник меньше по размеру наименьшей диагонали меньшего шестиугольника, то он ровно вписывается в меньший шестиугольник и нужно учитывать, что пересечение - это часть меньшего шестиугольника, которая остается незакрытой большим шестиугольником.

Таким образом, пересечение двух шестиугольников будет занимать участок меньшего шестиугольника, который равен площади меньшего шестиугольника, так как большее полностью вкладывается в меньшую фигуру.

Таким образом, площадь их пересечения равна площади меньшего шестиугольника: \[ S_{\text{пересечения}} = 36. \]

Ответ: площадь фигуры, образовавшейся в результате пересечения этих двух шестиугольников, равна 36.