Петя выписывает на карточках трёхзначные натуральные числа от 400 до 600 включительно (каждое ровно один раз) и раскладывает их на кучки так, чтобы в одну кучку попадали все…

Чтобы разобраться в задаче, давайте сначала определим, какие трехзначные натуральные числа находятся в диапазоне от 400 до 600. Это числа от 400 до 599 включительно. Мы можем выразить любое такое число в виде \(abc\), где \(a\), \(b\) и \(c\) - это цифры числа.

1. Определяем возможные значения для \(a\): так как число должно начинаться с 4 или 5, это означает, что \(a\) может быть 4 или 5.

2. Сумма цифр: Сумма цифр для чисел, начинающихся с 4 можно записать как: \[ S = 4 + b + c \] Таким образом, возможные значения для \(S\) будут зависеть от значений \(b\) и \(c\), которые могут варьироваться от 0 до 9, но так как \(b\) и \(c\) - это цифры, они должны быть от 0 до 9:

   • Минимально возможная сумма цифр, когда \(b = 0\) и \(c = 0\): \(S = 4 + 0 + 0 = 4\)
   • Максимально возможная сумма цифр, когда \(b = 9\) и \(c = 9\): \(S = 4 + 9 + 9 = 22\)

   Значит, для чисел, начинающихся с 4, возможные суммы цифр варьируются от 4 до 22.

3. Аналогично для чисел, начинающихся с 5: \[ S = 5 + b + c \]

   • Минимальная сумма цифр при \(b = 0\) и \(c = 0\): \(S = 5 + 0 + 0 = 5\)
   • Максимальная сумма цифр при \(b = 9\) и \(c = 9\): \(S = 5 + 9 + 9 = 23\)

   Значит, для чисел, начинающихся с 5, возможные суммы варьируются от 5 до 23.

Теперь соберём все возможные суммы цифр:

• Числа, начинающиеся на 4, дают суммы от 4 до 22.
• Числа, начинающиеся на 5, дают суммы от 5 до 23.

Объединив это, мы получаем, что возможные суммы от 4 до 23 включительно. Теперь проверим, какие из предложенных вариантов могут быть возможными:

• 6 (возможно)
• 12 (возможно)
• 13 (возможно)
• 14 (возможно)
• 15 (возможно)
• 23 (возможно)

Таким образом, все предложенные варианты могут быть суммами цифр у каждого из Васяных чисел.

Ответ: 6, 12, 13, 14, 15, 23.