В коробке лежат 9 синих, 9 жёлтых и 10 зелёных карандашей. Какое наибольшее количество красных карандашей можно добавить в коробку, чтобы среди любых 22 выбранных были карандаши…

Чтобы решить задачу, давайте начнем с анализа имеющихся карандашей. В коробке находятся:

• 9 синих карандашей
• 9 жёлтых карандашей
• 10 зелёных карандашей

Сложив количество карандашей, имеем в общей сложности: \[ 9 + 9 + 10 = 28 \text{ карандашей} \]

Мы хотим добавить красные карандаши так, чтобы среди любых 22 выбранных карандашей в коробке было не менее трёх различных цветов.

Предположим, что в коробке нет красных карандашей. В этом случае, если мы выберем 22 карандаша, возможно, что мы выберем их только двух цветов, например:

• 9 синих
• 9 жёлтых
• 4 зелёных

Это дает нам 22 карандаша, но только два цвета (синий и жёлтый). Таким образом, чтобы гарантировать наличие как минимум трёх цветов, нужно, чтобы максимальное количество карандашей одного цвета среди 22 выбранных было не более 10 (так как у нас 10 зелёных).

Если добавить \( x \) красных карандашей, то мы можем выбрать следующих 22 карандаша из \( 9 \) синих, \( 9 \) жёлтых, \( 10 \) зелёных и \( x \) красных.

Для максимума одного цвета мы должны учитывать наихудший случай, когда мы можем взять максимальное количество карандашей одного цвета, чтобы оставалось достаточно для выбора другого цвета.

Если добавить \( x \) красных карандашей, то возможность выбора 22 карандашей становится:

• \( 9 \) синих
• \( 9 \) жёлтых
• \( 10 \) зелёных
• \( x \) красных

Наибольшее число одного цвета (при худшем раскладе) не должно превышать \( 10 \) для обеспечения присутствия третьего цвета. Таким образом, если мы возьмём максимум 10 одного цвета, и у нас есть 2 цвета (например, 9 жёлтых и 9 синих), то:

\[ 22 - 9 - 9 = 4 \]

Таким образом, красных карандашей можно добавить:

\[ 10 + x \geq 22 \implies x \leq 10 \]

Таким образом, добавив до 10 красных карандашей, мы не нарушим правила задания.

Итак, наибольшее количество красных карандашей, которое можно добавить, равно \( 10 \).