Дан квадратный трехчлен f(x+1)-f(x) обращается в ноль при x=8 при каком значении аргумента обращается в ноль функция y=f(x+3)-f(x)

Для решения данной задачи начнем с анализа квадратного трехчлена \( f(x) \). Обозначим его в общем виде как \( f(x) = ax^2 + bx + c \), где \( a \), \( b \) и \( c \) — некоторые коэффициенты.

Сначала выразим \( f(x+1) \):

\[ f(x+1) = a(x+1)^2 + b(x+1) + c = a(x^2 + 2x + 1) + b(x + 1) + c = ax^2 + (2a + b)x + (a + b + c) \]

Теперь найдем разность \( f(x+1) - f(x) \):

\[ f(x+1) - f(x) = [ax^2 + (2a + b)x + (a + b + c)] - [ax^2 + bx + c] \]

Упрощаем выражение:

\[ f(x+1) - f(x) = (2a + b - b)x + (a + b + c - c) = 2ax + (a + b) \]

Согласно условию, данное выражение обращается в ноль при \( x = 8 \):

\[ 2a(8) + (a + b) = 0 \] \[ 16a + a + b = 0 \] \[ 17a + b = 0 \quad (1) \]

Теперь найдем, при каком значении \( x \) функция \( y = f(x+3) - f(x) \) обращается в ноль. Сначала выразим \( f(x+3) \):

\[ f(x+3) = a(x+3)^2 + b(x+3) + c = a(x^2 + 6x + 9) + b(x + 3) + c = ax^2 + 6ax + 9a + bx + 3b + c \]

Теперь найдем разность:

\[ f(x+3) - f(x) = [ax^2 + 6ax + 9a + bx + 3b + c] - [ax^2 + bx + c] \]

Упрощаем:

\[ f(x+3) - f(x) = (6a + b)x + (9a + 3b) \]

Чтобы это выражение обращалось в ноль, приравняем его к нулю:

\[ (6a + b)x + (9a + 3b) = 0 \]

Решение этого уравнения указывает на два случая: либо \( 6a + b = 0 \) и тогда \( 9a + 3b = 0 \), либо \( x = -\frac{9a + 3b}{6a + b} \).

Подставим значение \( b \) из уравнения (1):

\[ b = -17a \]

Вставляем это в \( 6a + b = 0 \):

\[ 6a - 17a = 0 \Rightarrow -11a = 0 \]

Следовательно, \( a \neq 0 \), и \( x = -\frac{9a + 3(-17a)}{6a + (-17a)} \):

\[ x = -\frac{9a - 51a}{-11a} = -\frac{-42a}{-11a} = \frac{42}{11} \]

Таким образом, функция \( y = f(x+3) - f(x) \) обращается в ноль при \( x = \frac{42}{11} \).