дан квадратный трехчлен f(x). Известно, что линейная функция y=f(x+1) - f(x) обращается в ноль при x =8. При каком значении аргумента обращается в ноль функция y=f(x+3) - f(x)?

Чтобы решить задачу, давайте сначала обозначим квадратный трехчлен \( f(x) \) в общем виде:

\[ f(x) = ax^2 + bx + c, \]

где \( a \), \( b \), и \( c \) — коэффициенты квадратного трехчлена.

Согласно условию, линейная функция \( y = f(x+1) - f(x) \) обращается в ноль при \( x = 8 \). Начнем с вычисления \( f(x+1) \):

\[ f(x+1) = a(x+1)^2 + b(x+1) + c = a(x^2 + 2x + 1) + b(x+1) + c = ax^2 + (2a + b)x + (a + b + c). \]

Теперь вычтем \( f(x) \):

\[ f(x+1) - f(x) = [ax^2 + (2a + b)x + (a + b + c)] - [ax^2 + bx + c] = (2a)x + (a + b). \]

Таким образом, получаем:

\[ y = f(x+1) - f(x) = (2a)x + (a + b). \]

Эта функция равна нулю при \( x = 8 \):

\[ (2a)(8) + (a + b) = 0. \]

Решим это уравнение:

\[ 16a + a + b = 0, \]

что упрощается до:

\[ 17a + b = 0 \quad (1). \]

Теперь нам нужно выяснить, при каком значении аргумента обращается в ноль функция \( y = f(x+3) - f(x) \).

Вычислим \( f(x+3) \):

\[ f(x+3) = a(x+3)^2 + b(x+3) + c = a(x^2 + 6x + 9) + b(x + 3) + c = ax^2 + (6a + b)x + (9a + 3b + c). \]

Теперь вычтем \( f(x) \):

\[ f(x+3) - f(x) = [ax^2 + (6a + b)x + (9a + 3b + c)] - [ax^2 + bx + c] = (6a + b)x + (9a + 3b). \]

Таким образом, получаем:

\[ y = f(x+3) - f(x) = (6a + b)x + (9a + 3b). \]

Эта функция обращается в ноль, когда:

\[ (6a + b)x + (9a + 3b) = 0. \]

Решая это уравнение для \( x \), можно выразить \( x \):

\[ x = -\frac{9a + 3b}{6a + b} \quad (2). \]

Теперь подставим из уравнения (1) значение \( b = -17a \):

\[ x = -\frac{9a + 3(-17a)}{6a + (-17a)} = -\frac{9a - 51a}{6a - 17a} = -\frac{-42a}{-11a} = \frac{42}{11}. \]

Таким образом, функция \( y = f(x+3) - f(x) \) обращается в ноль при значении аргумента \( x = \frac{42}{11} \).