На доске написаны не обязательно разные не отрицательные целые числа. Коля вычел из каждого числа 1, затем сложил модули всех получившихся чисел и получил сумму 73. Вася вычел из…
На доске написаны не обязательно разные не отрицательные целые числа. Коля вычел из каждого числа 1, затем сложил модули всех получившихся чисел и получил сумму 73. Вася вычел из каждого числа на доске 2, затем сложил модули всех получившихся чисел и получил сумму 74. Андрей вычел из каждого числа на доске 3, затем сложил модули всех получившихся чисел и получил сумму 95 ( каждый осуществляет операции с начальных набором чисел, написаны на доске). Сколько двоек было написано на доске
Давайте рассмотрим задачу более подробно.
Пусть на доске написаны не обязательно разные неотрицательные целые числа \(a_1, a_2, \ldots, a_n\).
Когда Коля вычел из каждого числа 1 и сложил модули, это можно записать как: \[ |a_1 - 1| + |a_2 - 1| + \ldots + |a_n - 1| = 73. \]
Когда Вася вычел из каждого числа 2, это будет: \[ |a_1 - 2| + |a_2 - 2| + \ldots + |a_n - 2| = 74. \]
Наконец, когда Андрей вычел из каждого числа 3, это: \[ |a_1 - 3| + |a_2 - 3| + \ldots + |a_n - 3| = 95. \]
Теперь давайте проанализируем каждое выражение по отдельности.
Когда Коля вычитает 1:
- Если \(a_i \geq 1\), то \(|a_i - 1| = a_i - 1\).
- Если \(a_i < 1\), то \(|a_i - 1| = 1 - a_i\). Однако, поскольку мы используем неотрицательные числа, все числа либо 0, либо больше 1, следовательно, можно считать, что \( |a_i - 1| = a_i - 1 \) для \( a_i \geq 1 \).
Когда Вася вычитает 2:
- Если \(a_i \geq 2\), то \(|a_i - 2| = a_i - 2\).
- Если \(a_i < 2\), то \(|a_i - 2| = 2 - a_i\).
Когда Андрей вычитает 3:
- Если \(a_i \geq 3\), то \(|a_i - 3| = a_i - 3\).
- Если \(a_i < 3\), то \(|a_i - 3| = 3 - a_i\).
Теперь давайте выведем уравнение для общего количества двоек, которое мы хотим найти. Обозначим количество двоек на доске как \(x\), количество единиц как \(y\) и количество нулей как \(z\). Таким образом, общее количество чисел на доске \(n = x + y + z\).
Система уравнений:
Для Коли: \[ (x) + (y - 1) + (2z) = 73, \] что упрощается до: \[ x + y + 2z = 74. \]
Для Васи: \[ (x) + (y) + (2z) = 74. \]
Для Андрея: \[ (x) + (y) + (z) = 95. \]
Теперь мы можем решить эту систему уравнений. Выразим \(z\) в терминах \(x\) и \(y\). Решая полученные уравнения, мы будем иметь:
Из первого уравнения: \[ x + y + 2z = 74 \Rightarrow 2z = 74 - x - y \Rightarrow z = \frac{74 - x - y}{2} \]
Из второго уравнения: \[ x + y + 2z = 74. \]
Из третьего уравнения: \[ x + y + z = 95 \Rightarrow z = 95 - x - y. \]
Подставив выражение для \(z\) из первого уравнения во второе и третье, мы можем находить значения \(x\), \(y\) и \(z\). В итоге, при решении системы уравнений служит основой для нахождения числа двоек.
Протестировав различные комбинации и учитывая полученные уравнения, можно определить, что:
\[ 2x + 1y + 0z = 73 \]
разрешает \(x = 72\) двоек на доске.
Ответ: 72 двойки были написаны на доске.
