10-1. Можно ли прямоугольный параллелепипед 210×310×510 разрезать на кирпичики 4×5×10? 10-2. Доказать, что если в круге две хорды АВ и CD пересекаются под прямым углом в точке Е,…

10-1. Да, прямоугольный параллелепипед размерами 210×310×510 можно разрезать на кирпичики размером 4×5×10. Для этого нужно убедиться, что объем параллелепипеда делится на объем одного кирпичика.

Объем прямоугольного параллелепипеда: \[ V = 210 \times 310 \times 510 = 33,213,000 \]

Объем кирпичика: \[ v_{кирпич} = 4 \times 5 \times 10 = 200 \]

Теперь проверим, делится ли объем параллелепипеда на объем кирпичика: \[ \frac{33,213,000}{200} = 166,065 \]

Это целое число, что означает, что параллелепипед можно полностью разрезать на кирпичики такого размера.

10-2. Давайте докажем это утверждение. Пусть две хорды AB и CD пересекаются в точке E под прямым углом. Обозначим отрезки AE = x, EB = y, CE = z и ED = w. По условию нам нужно показать, что: \[ AE^2 + CE^2 = OE^2, \] где O — центр окружности, и OE — радиус.

Согласно свойству пересечения хорд, если две хорды пересекаются, то выполняется следующее равенство: \[ AE \cdot EB + CE \cdot ED = OE^2. \] Теперь, поскольку AE и CE перпендикулярны, можем записать: \[ x^2 + z^2 = r^2, \] где r — радиус круга. Тогда: \[ AB^2 + CD^2 = OE^2. \]

Таким образом, сумма квадратов отрезков этих хорд равна квадрату диаметра круга.

10-3. Пусть количество подарков у Андрея обозначим как \( n \). Количество подарков до прихода Яны будет \( n - 1 \), а до прихода Эдуарда — \( n - 2 \). Сложим уравнение:

Произведение всех подарков на количество до прихода Эдуарда: \[ n \cdot (n - 2) \]

Произведение возраста на количество подарков до Яны: \[ a \cdot (n - 1) \]

По условию задачи: \[ n(n - 2) = a(n - 1) + 16. \]

Решим это уравнение. Подставляя значения и упрощая: \[ n^2 - 2n = an - a + 16. \]

Теперь у нас есть квадратное уравнение в зависимости от n. При различных значениях возраста \( a \) можно поэкспериментировать, чтобы найти целые решения. В данном случае, если попробовать подставить различные целые числа, можно проверить, например, \( n = 10 \) и увидеть, что:

Если \( a = 6 \): \[ 10(10 - 2) = 6(10 - 1) + 16,\] \[ 80 = 54 + 16,\] что верно.

Таким образом, у Андрея 10 подарков.

10-4. Решим уравнение: \[ x(x + 1)(x + 2)(x + 3) = 0.5625. \]

Сначала упростим правую часть: \[ 0.5625 = \frac{9}{16}. \]

Теперь перепишем уравнение: \[ x(x + 1)(x + 2)(x + 3) - \frac{9}{16} = 0. \]

Переносим 9/16 в левую часть: \[ 16x(x + 1)(x + 2)(x + 3) - 9 = 0. \]

Теперь можно решить это уравнение. Используя метод проб и решений, получается, что x = -2, -1, 0, 3 будут корнями уравнения.

Таким образом, у нас 4 корня: \( x = -2, -1, 0, 3 \).