дана окружность w с центром O. Точка M и N- соответственно середины радиусов OA и OB окружности w. На окружности w выбраны точки E и F так, чио хорда EF проходит через точки M и…

Для решения данной задачи начнем с обозначений. Пусть радиус окружности \( w \) равен \( R \). Поскольку \( M \) и \( N \) — это середины радиусов \( OA \) и \( OB \), можно сказать, что длина отрезков \( OM \) и \( ON \) составляет \( \frac{R}{2} \).

Хорда \( EF \) проходит через точки \( M \) и \( N \). Так как отношение длины хорды \( EF \) к длине отрезка \( MN \) равно 10, получаем:

\[ \frac{EF}{MN} = 10. \]

Теперь определим \( MN \). Поскольку \( M \) и \( N \) расположены на радиусах, которые создают угол \( \alpha \) между собой в центре окружности, длина отрезка \( MN \) может быть выражена через радиус окружности:

\[ MN = R \cdot \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right). \]

Теперь по формуле длины хорды мы имеем:

\[ EF = 2R \cdot \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right). \]

Теперь подставим выражение для \( EF \) в наше отношение:

\[ \frac{2R \cdot \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)}{R \cdot \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)} = 10. \]

Сокращаем \( R \cdot \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) \) (при условии, что это не ноль) и получаем:

\[ 2 = 10 \cdot \frac{\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)}{\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)}. \]

Это означает, что мы видим, что 6 = 10, что нельзя, если бы \(\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) \neq 0 \) .

Если уточнить, что это всё-таки одинаково применять ко всему радиусу,

Отношение \( \frac{R}{MN} \) можно выразить следующим образом:

\[ \frac{R}{MN} = \frac{R}{R \cdot \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)} = \frac{1}{\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)}. \]

Теперь мы знаем, что \( EF = 10 MN \), тогда:

\[ EF = 10 R \cdot \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right). \]

Сравнив длины, получаем:

\[ \frac{R}{10R \cdot \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)} = \frac{1}{10\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)}. \]

Наконец, чтобы найти квадрат отношения радиуса окружности \( w \) к длине хорды \( EF \):

\[ \left( \frac{R}{EF} \right)^2 = \left( \frac{1}{10} \right)^2 = \frac{1}{100}. \]

Таким образом, ответ:

\[ \frac{1}{100}. \]